【題目】如圖1,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E,F(xiàn),O分別為DC,AE,BC的中點(diǎn).以AE為折痕把△ADE折起,使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置,且平面PAE⊥平面ABCE(如圖2).
(Ⅰ)求證:BC⊥平面POF;
(Ⅱ)求直線PA與平面PBC所成角的正弦值;
(Ⅲ)在線段PE上是否存在點(diǎn)M,使得AM∥平面PBC?若存在,求的值;若不存在,說明理由.
【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ);(Ⅲ)見解析
【解析】
(I)由面面垂直的性質(zhì)定理得PF⊥平面ABCE,可得PF⊥BC,結(jié)合BC⊥OF,可得BC⊥平面POF;
(II)建立空間直角坐標(biāo)系,計(jì)算平面PBC的法向量,通過計(jì)算法向量與的夾角得出線面角的正弦值;
(III)設(shè)則,令,計(jì)算λ的值得出結(jié)論.
(Ⅰ)在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E是CD中點(diǎn),所以DA=DE,即PA=PE,
又F為AE的中點(diǎn),所以PF⊥AE,又平面PAE⊥平面ABCE,平面PAE∩平面ABCE=AE,
PF平面PAE,所以PF⊥平面ABCE,BC平面ABCE,所以PF⊥BC,
由F,O分別為AE,BC的中點(diǎn),易知FO∥AB,所以O(shè)F⊥BC,所以BC⊥平面POF,
(Ⅱ)過點(diǎn)O做平面ABCE的垂線OZ,以O(shè)為原點(diǎn),分別以O(shè)F,OB,OZ為x,y,z軸建立坐標(biāo)系O﹣xyz,
則
∴,設(shè)平面PBC的法向量為
由得,令z=3得,
,
所以直線PA與平面PBC所成角的正弦值.
(Ⅲ)在線段PE上不存在點(diǎn)M,使得AM∥平面PBC.證明如下:
點(diǎn)M在線段PE上,設(shè)則, ,
若AM∥平面PBC,則,
由得,解得λ=2[0,1]
所以在線段PE上不存在點(diǎn)M,使得AM∥平面PBC.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的右頂點(diǎn)為,左焦點(diǎn)為,離心率,過點(diǎn)的直線與橢圓交于另一個(gè)點(diǎn),且點(diǎn)在軸上的射影恰好為點(diǎn),若.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過圓上任意一點(diǎn)作圓的切線與橢圓交于,兩點(diǎn),以為直徑的圓是否過定點(diǎn),如過定點(diǎn),求出該定點(diǎn);若不過定點(diǎn),請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】求滿足下列條件的橢圓或雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:
(1)橢圓的焦點(diǎn)在軸上,焦距為4,且經(jīng)過點(diǎn);
(2)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上,右焦點(diǎn)為,過作重直于軸的直線交雙曲線于,兩點(diǎn),且,離心率為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校學(xué)生會開展了一次關(guān)于“垃圾分類”問卷調(diào)查的實(shí)踐活動,組織部分學(xué)生干部在幾個(gè)大型小區(qū)隨機(jī)抽取了共50名居民進(jìn)行問卷調(diào)查.調(diào)查結(jié)束后,學(xué)生會對問卷結(jié)果進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),并將其中一個(gè)問題“是否知道垃圾分類方法(知道或不知道)”的調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下表:
年齡(歲) | ||||||
頻數(shù) | 14 | 12 | 8 | 6 | ||
知道的人數(shù) | 3 | 4 | 8 | 7 | 3 | 2 |
(1)求上表中的的值,并補(bǔ)全右圖所示的的頻率直方圖;
(2)在被調(diào)查的居民中,若從年齡在的居民中各隨機(jī)選取1人參加垃圾分類知識講座,求選中的兩人中僅有一人不知道垃圾分類方法的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD是梯形,四邊形CDEF是矩形,且平面ABCD⊥平面CDEF,∠BAD=∠CDA=90,,M是線段AE上的動點(diǎn).
(1)試確定點(diǎn)M的位置,使AC∥平面DMF,并說明理由;
(2)在(1)的條件下,求平面MDF將幾何體ADE-BCF分成的兩部分的體積之比.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】蘋果是人們?nèi)粘I钪谐R姷臓I養(yǎng)型水果.某地水果批發(fā)市場銷售來自5個(gè)不同產(chǎn)地的富士蘋果,各產(chǎn)地的包裝規(guī)格相同,它們的批發(fā)價(jià)格(元/箱)和市場份額如下:
產(chǎn)地 | |||||
批發(fā)價(jià)格 | |||||
市場份額 |
市場份額亦稱“市場占有率”.指某一產(chǎn)品的銷售量在市場同類產(chǎn)品中所占比重.
(1)從該地批發(fā)市場銷售的富士蘋果中隨機(jī)抽取一箱,求該箱蘋果價(jià)格低于元的概率;
(2)按市場份額進(jìn)行分層抽樣,隨機(jī)抽取箱富士蘋果進(jìn)行檢驗(yàn),
①從產(chǎn)地共抽取箱,求的值;
②從這箱蘋果中隨機(jī)抽取兩箱進(jìn)行等級檢驗(yàn),求兩箱產(chǎn)地不同的概率;
(3)由于受種植規(guī)模和蘋果品質(zhì)的影響,預(yù)計(jì)明年產(chǎn)地的市場份額將增加,產(chǎn)地的市場份額將減少,其它產(chǎn)地的市場份額不變,蘋果銷售價(jià)格也不變(不考慮其它因素).設(shè)今年蘋果的平均批發(fā)價(jià)為每箱元,明年蘋果的平均批發(fā)價(jià)為每箱元,比較的大小.(只需寫出結(jié)論)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年4月20日,重慶市實(shí)施高考改革方案,2018年秋季入學(xué)的高中一年級的學(xué)生將實(shí)行“”模式.即“3”為全國統(tǒng)考科目語文、數(shù)學(xué)、外語所有學(xué)生必考;“1”為物理、歷史科目中選擇一科俗稱“2選1”;“2”為再選學(xué)科,考生可在化學(xué)、生物、思想政治、地理4個(gè)科目中選擇兩科俗稱“4選2”,選擇學(xué)科完全相同即為相同“組合”.某校高一年級有三名同學(xué)甲,乙,丙根據(jù)自己喜歡的大學(xué)和專業(yè)情況均選擇了物理,為了了解“4選2”選科情況老師找這三名同學(xué)來談話情況如下:
甲說:我選了化學(xué),但沒有選思想政治;
乙說:我與甲有一科相同,但沒有選化學(xué)和地理;
丙說:我與甲有相同的選科,與乙也有相同選科,但我們?nèi)齻(gè)選的“組合”都不相同.則下列結(jié)論正確的是( )
A.甲選了化學(xué)和地理B.丙可能選化學(xué)和思想政治
C.甲一定選地理D.丙一定選了生物和地理
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知.
(1)設(shè)是的極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)的值,并求的單調(diào)區(qū)間:
(2)時(shí),求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下列五個(gè)命題:
①凈三種個(gè)體按的比例分層抽樣調(diào)查,如果抽取的個(gè)體為9個(gè),則樣本容易為30;②一組數(shù)據(jù)1、2、3、4、5的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)相同;③甲組數(shù)據(jù)的方差為5,乙組數(shù)據(jù)為5、6、9、10、5,那么這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是甲;④已知具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量滿足的回歸直線方程為.則每增加1個(gè)單位,平均減少2個(gè)單位;⑤統(tǒng)計(jì)的10個(gè)樣本數(shù)據(jù)為125,120,122,105,130,114,116,95,120,134,則樣本數(shù)據(jù)落在內(nèi)的頻率為0.4其中真命題為( )
A. ①②④B. ②④⑤C. ②③④D. ③④⑤
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