已知橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是焦距的兩倍,其左、右焦點(diǎn)依次為F1、F2,拋物線M:y2=4mx(m>0)的準(zhǔn)線與x軸交于F1,橢圓C與拋物線M的一個(gè)交點(diǎn)為P.
(1)當(dāng)m=1時(shí),求橢圓C的方程;
(2)在(1)的條件下,直線l過(guò)焦點(diǎn)F2,與拋物線M交于A、B兩點(diǎn),若弦長(zhǎng)|AB|等于△PF1F2的周長(zhǎng),求直線l的方程;
(3)由拋物線弧y2=4mx和橢圓弧
(m>0)合成的曲線叫“拋橢圓”,是否存在以原點(diǎn)O為直角頂點(diǎn),另兩個(gè)頂點(diǎn)A1、A2落在“拋橢圓”上的等腰直角三角形OA1A2,若存在,求出兩直角邊所在直線的斜率;若不存在,說(shuō)明理由.
【答案】分析:(1)因?yàn)闄E圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是焦距的兩倍,所以可得到a,b之間的關(guān)系,當(dāng)m=1時(shí),可知拋物線方程,據(jù)此能夠求出拋物線的準(zhǔn)線方程,因?yàn)閽佄锞的準(zhǔn)線與x軸交于橢圓的左焦點(diǎn)F1,所以可求出橢圓中c的值,再根據(jù)a,b,c之間的關(guān)系,就可求出a,b的值,得到橢圓方程.
(2)設(shè)出直線l的點(diǎn)斜式方程,與(1)中所求橢圓方程聯(lián)立,用韋達(dá)定理求出x1+x2,x1x2,再利用弦長(zhǎng)公式求出|AB|,讓其等于焦點(diǎn)三角形△PF1F2的周長(zhǎng),即可解出斜率k,得到直線l的方程.
(3)先假設(shè)存在以原點(diǎn)O為直角頂點(diǎn),另兩個(gè)頂點(diǎn)A1、A2落在“拋橢圓”上的等腰直角三角形OA1A2,由A1、A2所在曲線上的位置,分3種情況,①當(dāng)A1、A2同時(shí)在拋物線弧上時(shí),②當(dāng)A1、A2同時(shí)在橢圓弧上時(shí),③當(dāng)A1在拋物線弧上,A2在橢圓弧上時(shí),分別計(jì)算k值,看所求k值是否在,若k值存在,則假設(shè)正確,否則,假設(shè)不正確.
解答:解:(1)設(shè)橢圓的實(shí)半軸長(zhǎng)為a,短半軸長(zhǎng)為b,半焦距為c,
當(dāng)m=1時(shí),由題意得,a=2c=2,b2=a2-c2=3,a2=4,
所以橢圓的方程為
(2)依題意知直線l的斜率存在,設(shè)l:y=k(x-1),由得,k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
由直線l與拋物線M有兩個(gè)交點(diǎn),可知k≠0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
由韋達(dá)定理得,則
又△PF1F2的周長(zhǎng)為2a+2c=6,所以,
解得,從而可得直線l的方程為
(3)由題意得,“拋橢圓”由拋物線弧和橢圓弧合成,且、
假設(shè)存在△OA1A2為等腰直角三角形,由A1、A2所在曲線的位置做如下3種情況討論:
①當(dāng)A1、A2同時(shí)在拋物線弧上時(shí),由OP1、OP2的斜率分別為,∠A1OA2比為鈍角,顯然與題設(shè)矛盾.此時(shí)不存在                
②當(dāng)A1、A2同時(shí)在橢圓弧上時(shí),由橢圓與等腰直角三角形的對(duì)稱性知,
兩直角邊關(guān)于x軸對(duì)稱.
即直線OA1的斜率為1,直線OA2的斜率為-1,
符合題意;此時(shí)存在
③不妨設(shè)當(dāng)A1在拋物線弧上,A2在橢圓弧上時(shí),
于是設(shè)直線OA1的方程為y=kx(其中),將其代入y2=4mx;
由OA1⊥OA2,直線OA2的方程為,
同理代入橢圓弧方程,
由|OA1|=|OA2|得3k4-12k2-16=0,解得矛盾,此時(shí)不存在.
因此,存在以原點(diǎn)O為直角頂點(diǎn),另兩個(gè)頂點(diǎn)A1、A2落在“拋橢圓”上的等腰直角三角形OA1A2,兩直角邊所在直線的斜率分別為1和-1.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了橢圓方程的求法,以及直線與橢圓位置關(guān)系的判斷.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2011•浦東新區(qū)三模)已知橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是焦距的兩倍,其左、右焦點(diǎn)依次為F1、F2,拋物線M:y2=4mx(m>0)的準(zhǔn)線與x軸交于F1,橢圓C與拋物線M的一個(gè)交點(diǎn)為P.
(1)當(dāng)m=1時(shí),求橢圓C的方程;
(2)在(1)的條件下,直線l過(guò)焦點(diǎn)F2,與拋物線M交于A、B兩點(diǎn),若弦長(zhǎng)|AB|等于△PF1F2的周長(zhǎng),求直線l的方程;
(3)由拋物線弧y2=4mx(0≤x≤
2m
3
)
和橢圓弧
x2
4m2
+
y2
3m2
=1
(
2m
3
≤x≤2m)

(m>0)合成的曲線叫“拋橢圓”,是否存在以原點(diǎn)O為直角頂點(diǎn),另兩個(gè)頂點(diǎn)A1、A2落在“拋橢圓”上的等腰直角三角形OA1A2,若存在,求出兩直角邊所在直線的斜率;若不存在,說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2011•浦東新區(qū)三模)第一題滿分4分,第二題滿分6分,第三題滿分8分.
已知橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是焦距的兩倍,其左、右焦點(diǎn)依次為F1、F2,拋物線M:y2=4mx(m>0)的準(zhǔn)線與x軸交于F1,橢圓C與拋物線M的一個(gè)交點(diǎn)為P.
(1)當(dāng)m=1時(shí),求橢圓C的方程;
(2)在(1)的條件下,直線l過(guò)焦點(diǎn)F2,與拋物線M交于A、B兩點(diǎn),若弦長(zhǎng)|AB|等于△PF1F2的周長(zhǎng),求直線l的方程;
(3)是否存在實(shí)數(shù)m,使得△PF1F2的邊長(zhǎng)為連續(xù)的自然數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011年上海市浦東新區(qū)高考數(shù)學(xué)三模試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

第一題滿分4分,第二題滿分6分,第三題滿分8分.
已知橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是焦距的兩倍,其左、右焦點(diǎn)依次為F1、F2,拋物線M:y2=4mx(m>0)的準(zhǔn)線與x軸交于F1,橢圓C與拋物線M的一個(gè)交點(diǎn)為P.
(1)當(dāng)m=1時(shí),求橢圓C的方程;
(2)在(1)的條件下,直線l過(guò)焦點(diǎn)F2,與拋物線M交于A、B兩點(diǎn),若弦長(zhǎng)|AB|等于△PF1F2的周長(zhǎng),求直線l的方程;
(3)是否存在實(shí)數(shù)m,使得△PF1F2的邊長(zhǎng)為連續(xù)的自然數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011年上海市浦東新區(qū)高考數(shù)學(xué)三模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是焦距的兩倍,其左、右焦點(diǎn)依次為F1、F2,拋物線M:y2=4mx(m>0)的準(zhǔn)線與x軸交于F1,橢圓C與拋物線M的一個(gè)交點(diǎn)為P.
(1)當(dāng)m=1時(shí),求橢圓C的方程;
(2)在(1)的條件下,直線l過(guò)焦點(diǎn)F2,與拋物線M交于A、B兩點(diǎn),若弦長(zhǎng)|AB|等于△PF1F2的周長(zhǎng),求直線l的方程;
(3)由拋物線弧y2=4mx和橢圓弧
(m>0)合成的曲線叫“拋橢圓”,是否存在以原點(diǎn)O為直角頂點(diǎn),另兩個(gè)頂點(diǎn)A1、A2落在“拋橢圓”上的等腰直角三角形OA1A2,若存在,求出兩直角邊所在直線的斜率;若不存在,說(shuō)明理由.

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