Question

如圖，已知直線L：x=my+1過橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F，且交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A，F(xiàn)，B在直線G：x=a²上的射影依次為點(diǎn)D，K，E．
（1）若拋物線x²=4

3

y的焦點(diǎn)為橢圓C的上頂點(diǎn)，求橢圓C的方程；
（2）連接AE，BD，證明：當(dāng)m變化時，直線AE、BD相交于一定點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）易知b=

3

，c=1，結(jié)合a²=b²+c²可求橢圓的方程
（2）要證當(dāng)m變化時，直線AE、BD相交于一定點(diǎn)．先找m去特殊值（m=0）時AE與BD相交FK中點(diǎn)N(

1+a2

2

，0)故猜想：當(dāng)m變化時，AE與BD相交于定點(diǎn)N(

1+a2

2

，0)然后只要證明AN，EN 的斜率相等，從而可得A、N、E三點(diǎn)共線同理可得B、N、D三點(diǎn)共線即可

解答：解：（1）易知b=

3

，c=1，a²=b²+c²=4
∴橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1（6分）
（2）∵F（1，0）
當(dāng)m=0時，直線L⊥ox軸，則ABED為矩形，
由對稱性知，AE與BD相交FK中點(diǎn)N，且N(

1+a2

2

，0)
猜想：當(dāng)m變化時，AE與BD相交于定點(diǎn)N(

1+a2

2

，0)（8分）
證明：設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）E（a²，y₂）D（a²，y₁）
當(dāng)m變化時首先AE過定點(diǎn)N

x=mu+1 b2x2+a2y2-a2b2=0

即（a²+b²m²）y²+2mb²y+b²（1-a²）=0
△=4a²b²（a²+m²b²-1）＞0（a＞1）
KAN=

-y1

a2-1 2 -my1

      KEN=

-y2

1-a2 2

KAN-KEN=

a2-1 2 (y1+y2)-my1y2

1-a2 2 ( a2-1 2 -my1)

∵

a2-1

2

(y1+y2)-my1y2=

a2-1

2

(-

2mb2

a2+m2b2

)-m

b2(1-a2)

a2+m2b2

=

(a2-1)(mb2-mb2)

a2+m2b2

=0
∴k_AN=K_EN∴A、N、E三點(diǎn)共線
同理可得B、N、D三點(diǎn)共線
∴AE與BD相交于定點(diǎn)N(

1+a2

2

，0)（14分）

點(diǎn)評：本題主要考查了圓錐曲線的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，而定義的靈活應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵直線與曲線的相交的一般思路是聯(lián)立方程組，通過方程的根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解