Question

已知函數(shù)f（x）=x⁴+ax²+b的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處與直線y=-4x+2相切．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅲ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-m，m]（m＞0）上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把x=1代入切線方程求出f（1）=-2，然后把（1，-2）代入到f（x）中得到關(guān)于a與b的一個(gè)關(guān)系式；求出f'（x），根據(jù)切線方程得到斜率為-4，所以f'（1）=-4，代入導(dǎo)函數(shù)即可得到關(guān)于a的方程，求出a的值，代入到前面求的關(guān)系式中求出b即可；
（Ⅱ）把第一問(wèn)求得的a與b代入到f（x）中，然后求出f'（x）=0時(shí)x的值，利用x的三個(gè)值分四個(gè)區(qū)間討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）根據(jù)第二問(wèn)函數(shù)的增減性分區(qū)間分別求出函數(shù)的最大值和最小值即可．

解答：解：（Ⅰ）f（1）=-4×1+2=-2?1+a+b-2?a+b=-3，
f'（x）=4x³+2ax，f'（1）=-4?2a+4=-4
∴a=-4，b=1．
（Ⅱ）f（x）=x⁴-4x²+1?f'（x）=4x³-8x=4x（x²-2），f'（x）=0的根為0，±

2

．
在（-∞，-

2

）上，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；在（-

2

，0）上，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
在（0，

2

）上，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；在（

2

，+∞）上，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-

2

，0）、（

2

+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-

2

）、（0，

2

）．
（Ⅲ）f（-

2

）=f（

2

）=-3，f（0）=1，由f（x）=x⁴-4x²+1=1得，x=0，x=±2，
∴當(dāng)0＜m＜

2

時(shí)，f（x）在[-m，m]上的最大值是1，最小值是f（m）=m⁴-4m²+1；
當(dāng)

2

≤m≤2時(shí)，f（x）在[-m，m]上的最大值是1，最小值是f（

2

）=-3．
當(dāng)m＞2時(shí)，f（x）在[-m，m]上的最大值是f（m）=m⁴-4m²+1，最小值是f（

2

）=-3．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上過(guò)某點(diǎn)切線方程的斜率，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及利用函數(shù)的增減性求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．