已知直線l:y=mx+1與曲線C:ax2+y2=2(m、a∈R)交于A、B兩點,O為坐標原點.
(1)當m=0時,有∠AOB=
π
3
,求曲線C的方程;
(2)當實數(shù)a為何值時,對任意m∈R,都有
OA
OB
為定值T?指出T的值;
(3)已知點M(0,-1),當a=-2,m變化時,動點P滿足
MP
=
OA
+
OB
,求動點P的縱坐標的變化范圍.
(1)當m=0時,聯(lián)立方程可得:ax2=1,∴x=±
1
a

A(
1
a
,1)
,B(-
1
a
,1)
,∵∠AOB=
π
3
,∴
1
2
=
-
1
a
+1
1
a
+1
解得:a=3,
∴方程為
3x2
2
+
y2
2
=1

(2)設A、B兩點坐標為(x1,y1)、(x2,y2),聯(lián)立方程:
y=mx+1
ax2+y2=2
可得:
(a+m2)x2+2mx-1=0
x1+x2=-
2m
a+m2
x1x2=-
1
a+m2

OA
OB
=x1x2+y1y2=x1x2+(mx1+1)(mx2+1)
=(m2+1)x1x2+m(x1+x2)+1=-
m2+1
a+m2
-
2m2
a+m2
+1=
a-2m2-1
a+m2

要使
OA
OB
=T
,則-2m2+(a-1)=Tm2+Ta∴T=-2且a-1=Ta即a=
1
3
且T=-2
而當a=
1
3
時,
1
3
+m2≠0
△=4m2+4(
1
3
+m2)=8m2+
4
3
>0
恒成立∴當實數(shù)a=
1
3
時,對任意m∈R,都有
OA
OB
=-2

(3)設P(x,y),∴
MP
=(x,y+1)
,∴y+1=y1+y2=m(x1+x2)+2=
4
2-m2
y=
2+m2
2-m2

又對方程(m2-2)x2+2mx-1=0,△=8m2-8>0,∴m2>1且m2≠2
y=-1+
4
2-m2
,∴y>3或y<-1
練習冊系列答案
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OP
=x0
e1
+y0
e2
(其中,
e1
e2
分別為與斜坐標系的x軸,y軸同方向的單位向量),則點P的坐標為(x0,y0)”.若F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0)且動點M(x,y)滿足|
MF1
|=|
MF2
|,則點M在斜坐標系中的軌跡方程為( 。
A.x=0B.y=0C.
2
x+y=0
D.
2
x-y=0

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16
5
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A.3y2=4(x-1)B.3y2=4(x-1)(y≠0)
C.
y2
3
=4(x-1)
D.
y2
3
=4(x-1)(y≠0)

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(2)設點C是橢圓E上到直線PF1距離最遠的點,求C點的坐標.

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