【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,證明的圖象與軸相切;
(2)當(dāng)時,證明存在兩個零點.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析.
【解析】
(1)先求導(dǎo),再設(shè)切點,求出切點坐標(biāo),即可證明,
(2)分離參數(shù),構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值,即可證明.
證明:(1)當(dāng)a=1時,f(x)=(x﹣2)lnx+x﹣1.
∴f′(x)=lnx++1,
若f(x)與x軸相切,切點為(x0,0),
∴f(x0)=(x0﹣2)lnx0+x0﹣1=0
f′(x0)=lnx0++1=0,
解得x0=1或x0=4(舍去)
∴x0=1,
∴切點為(1,0),
故f(x)的圖象與x軸相切
(2)∵f(x)=(x﹣2)lnx+ax﹣1=0,
∴a=﹣=﹣lnx+,
設(shè)g(x)=﹣lnx+,
∴g′(x)=﹣﹣+=,
令h(x)=1﹣2x﹣2lnx
易知h(x)在(0,+∞)為減函數(shù),
∵h(1)=1﹣1﹣2ln1=0,
∴當(dāng)x∈(0,1)時,g′(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增,
當(dāng)x∈(1,+∞)時,g′(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減,
∴g(x)max=g(1)=1,
當(dāng)x→0時,g(x)→﹣∞,當(dāng)x→+∞時,g(x)→﹣∞,
∴當(dāng)a<1時,y=g(x)與y=a有兩個交點,
即當(dāng)a<1時,證明f(x)存在兩個零點
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽曾創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”,用數(shù)形結(jié)合的方法給出了勾股定理的詳細(xì)證明.如圖所示的“勾股圓方圖”中,四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成一個大正方形,其中一個直角三角形中較小的銳角滿足,現(xiàn)向大正方形內(nèi)隨機投擲一枚飛鏢,則飛鏢落在小正方形內(nèi)的概率是( )
A.B.
C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且(n∈N*).
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)已知等比數(shù)列{bn}是遞增的,且首項b1和公比q分別是方程(x2﹣4)(x2﹣1)=0實根,求數(shù)列的前n項和為Tn.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將n2個數(shù)排成n行n列的一個數(shù)陣,如圖:該數(shù)陣第一列的n個數(shù)從上到下構(gòu)成以m為公差的等差數(shù)列,每一行的n個數(shù)從左到右構(gòu)成以m為公比的等比數(shù)列(其中m>0).已知a11=2,a13=a61+1,記這n2個數(shù)的和為S.下列結(jié)論正確的有( )
A.m=3B.
C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知P是圓F1:(x+1)2+y2=16上任意一點,F2(1,0),線段PF2的垂直平分線與半徑PF1交于點Q,當(dāng)點P在圓F1上運動時,記點Q的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)記曲線C與x軸交于A,B兩點,M是直線x=1上任意一點,直線MA,MB與曲線C的另一個交點分別為D,E,求證:直線DE過定點H(4,0).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)(其中)的部分圖象如圖所示,把函數(shù)的圖像向右平移個單位長度,再向下平移1個單位,得到函數(shù)的圖像.
(1)當(dāng)時,求的值域
(2)令,若對任意都有恒成立,求的最大值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從某部門參加職業(yè)技能測試的2000名員工中抽取100名員工,將其成績(滿分100分)按照,,,分成4組,得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)估計該部門參加測試員工的成績的中位數(shù);
(2)估計該部門參加測試員工的平均成績.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù),其中,,為實常數(shù)
(1)若時,討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若時,不等式在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若,當(dāng)時,證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某大型工廠有6臺大型機器,在1個月中,1臺機器至多出現(xiàn)1次故障,且每臺機器是否出現(xiàn)故障是相互獨立的,出現(xiàn)故障時需1名工人進(jìn)行維修,每臺機器出現(xiàn)故障的概率為.已知1名工人每月只有維修2臺機器的能力(若有2臺機器同時出現(xiàn)故障,工廠只有1名維修工人,則該工人只能逐臺維修,對工廠的正常運行沒有任何影響),每臺機器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障時能及時得到維修,就能使該廠獲得10萬元的利潤,否則將虧損2萬元.該工廠每月需支付給每名維修工人1萬元的工資.
(1)若每臺機器在當(dāng)月不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障時,有工人進(jìn)行維修(例如:3臺大型機器出現(xiàn)故障,則至少需要2名維修工人),則稱工廠能正常運行.若該廠只有1名維修工人,求工廠每月能正常運行的概率;
(2)已知該廠現(xiàn)有2名維修工人.
(ⅰ)記該廠每月獲利為萬元,求的分布列與數(shù)學(xué)期望;
(ⅱ)以工廠每月獲利的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù),試問該廠是否應(yīng)再招聘1名維修工人?
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