Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax2﹣（a+2）x+lnx． （Ⅰ）當(dāng)a=1時，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時，若f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為﹣2，求a的取值范圍；
（Ⅲ）若對任意x1 ， x2∈（0，+∞），當(dāng)x1≠x2時有 ＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時，f（x）=x2﹣3x+lnx， ． ∵f′（1）=0，f（1）=﹣2，
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程是y=﹣2；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）=ax2﹣（a+2）x+lnx的定義域是（0，+∞）．
當(dāng)a＞0時， ，（x＞0）．
令f′（x）=0，即 ．
∴ 或 ．
當(dāng) ，即a≥1時，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）=﹣2；
當(dāng) 時，f（x）在[1，e]上的最小值是 ，不合題意；
當(dāng) 時，f（x）在（1，e）上單調(diào)遞減，
所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（e）＜f（1）=﹣2，不合題意．
綜上，a≥1；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=f（x）+2x，則g（x）=ax2﹣ax+lnx，
由題意可知只要g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增即可．
而 ．
當(dāng)a=0時， ，此時g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a≠0時，只需g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
因?yàn)閤∈（0，+∞），只要2ax2﹣ax+1≥0，則需要a＞0，
對于函數(shù)y=2ax2﹣ax+1，過定點(diǎn)（0，1），對稱軸 ，
只需△=a2﹣8a≤0，
即0＜a≤8．
綜上0≤a≤8．
【解析】（Ⅰ）把a(bǔ)=1代入函數(shù)解析式，求導(dǎo)后求出f′（1），同時求出f（1），由點(diǎn)斜式寫出切線方程；（Ⅱ）求出函數(shù)的定義域，求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)一步求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn) ， ，分 ≤1，1＜ ＜e及 三種情況討論原函數(shù)的單調(diào)性，由f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為﹣2求解a的取值范圍；（Ⅲ）構(gòu)造輔助函數(shù)g（x）=f（x）+2x，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，求解a的范圍．把函數(shù)g（x）求導(dǎo)后分a=0和a≠0討論，a≠0時借助于二次函數(shù)過定點(diǎn)及對稱軸列式求解．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識，掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．