Question

已知三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，三條側(cè)棱長(zhǎng)分別為4，4，7，若此三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的表面積是

 

．

Answer 1

分析：利用三棱錐三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，構(gòu)造長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為外接球的直徑，求出球的半徑即可求出球的表面積．

解答：解：∵三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直
∴構(gòu)造側(cè)棱長(zhǎng)分別為4，4，7長(zhǎng)方體，
則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為外接球的直徑，
設(shè)球半徑為r，
則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為

42+42+72

=

81

=9，
則2r=9，則r=

9

2

即三棱錐外接球的半徑r=

9

2

，
∴三棱錐外接球的表面積為4πr²=4×（

9

2

）²π=81π．
故答案為：81π．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查球的表面積公式的計(jì)算，根據(jù)三棱錐的側(cè)面關(guān)系構(gòu)造長(zhǎng)方體，根據(jù)長(zhǎng)方體的體對(duì)角線和球直徑之間的關(guān)系求出球半徑是解決本題的關(guān)鍵．