Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與圓相切，求的值；

（2）若函數(shù)在上存在極值，求的取值范圍；

（3）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（1）；（2）．

【解析】分析：（1）求出的導(dǎo)函數(shù)，將代入求出切線(xiàn)斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線(xiàn)方程.再利用直線(xiàn)與圓相切的條件：圓心到切線(xiàn)的距離等于圓的半徑，即可求得到的值.

（2）將函數(shù)在上存在極值，轉(zhuǎn)化為在上存在零點(diǎn)，且零點(diǎn)左右符號(hào)相反.由題可知在上的增函數(shù)，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理得，求解不等式組得到的取值范圍.

（3）根據(jù)在上的增函數(shù)，存在極小值點(diǎn)，，且在左右分別找到和，滿(mǎn)足，時(shí)，求解出的取值范圍.

詳解：解：（1）∵，由，，故曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為：，整理為：，

由切線(xiàn)與圓相切有，解得：.

（2）∵為上的增函數(shù)，

∴，即，解得：.

（3）由，當(dāng)時(shí)由函數(shù)為增函數(shù)，

則函數(shù)若存在零點(diǎn)，有且僅有一個(gè)，令.

①當(dāng)時(shí)，，

令，由有，

故當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，

又由，，，

可知當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，

故，此時(shí)函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn).

②當(dāng)時(shí)，由，，故方程在區(qū)間上有解.

③當(dāng)時(shí)，由， ，

故方程在區(qū)間上有解，

由上知當(dāng)時(shí)函數(shù)有唯一的極小值點(diǎn)，記為，有，可得，

要使得函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，至少需要 ，可得，

由函數(shù)單調(diào)遞增，且，可得：，由，可得，

由上知當(dāng)時(shí)，，且，

而 ，

由常用不等式，可知，故 ，

又，

故 ，

故此時(shí)函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，

由上知的取值范圍為.