[選做題]在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，計(jì)20分．請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)．
A．（選修4-1：幾何證明選講）
過(guò)圓O外一點(diǎn)P分別作圓的切線和割線交圓于A，B，且PB=7，∠ABP=∠ABC，C是圓上一點(diǎn)使得BC=5，求線段AB的長(zhǎng)．
B．（選修4-2：矩陣與變換）
求曲線C：xy=1在矩陣
2
2
-
2
2
2
2
2
2
對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的曲線C′的方程．
C．（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）
已知曲線C1：
x=3cosθ
y=2sinθ
（θ為參數(shù)）和曲線C2：ρsin（θ-
π
4
）=
2
．
（1）將兩曲線方程分別化成普通方程；
（2）求兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)．
D．（選修4-5：不等式選講）
已知|x-a|＜
c
4
，|y-b|＜
c
6
，求證：|2x-3y-2a+3b|＜c．
分析：A：根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角與弦切角相等，得到∠C=∠BAP，根據(jù)所給的兩個(gè)角相等，得到兩個(gè)三角形相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，得到比例式，代入已知的長(zhǎng)度，求出結(jié)果．
B：設(shè)P（x0，y0）為曲線xy=1上的任意一點(diǎn)，在矩陣A變換下得到另一點(diǎn)P'（x'0，y'0），根據(jù)法則
x0′
y0 
=
2
2
-
2
2
2
2
2
2
x0
y0
，求出即 x0=
2
2
（x0′+y0′），
y0=
2
2
（ y0′-x0′ ）．再由x0•y0=1 可得  ( y0′)2-( x0′)2=2，從而得到曲線C′的方程．
C：把參數(shù)方程化為普通方程，把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立方程組求得求兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)．
D：由題意可得|2x-2a|＜
c
2
，|3y-3b|＜
c
2
，故|2x-2a|+|3y-3b|＜c．再根據(jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可得|2x-3y-2a+3b|≤|2x-2a|+|3y-3b|，從而證得不等式．
解答：解：A：∵∠BAC=∠APB，∠C=∠BAP，∴△PAB∽△ACB，∴
AB
BC
=
PB
AB
  AB2=PB•BC=7×5=35，∴AB=
35
．
B：設(shè)P（x0，y0）為曲線xy=1上的任意一點(diǎn)，在矩陣A變換下得到另一點(diǎn)P'（x'0，y'0），
則有
x0′
y0
=
2
2
-
2
2
2
2
2
2
 
x0
y0
，∴x0′=
2
2
（x0-y0），y0′=
2
2
（x0+y0），
即 x0=
2
2
（x0′+y0′），y0=
2
2
（ y0′-x0′ ）．
再由x0•y0=1可得 (y0′)2-(x0′)2=2，故的曲線C′的方程為y2-x2=1．
C：（1）把曲線C1：
x=3cosθ
y=2sinθ
（θ為參數(shù)），利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系化為普通方程為
x2
9
+
y2
4
=1． 
把曲線C2：ρsin（θ-
π
4
）=
2
 即
2
2
ρsinθ-
2
2
cosθ=
2
，化為直角坐標(biāo)為 x-y+2=0．
（2）由
x-y+2=0
x2
9
+
y2
4
=1
 解得
x=0
y=2
，或 
x=-
36
13
y=-
10
13
，故兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）或（-
36
13
，-
10
13
）．
D：∵已知|x-a|＜
c
4
，|y-b|＜
c
6
，∴|2x-2a|＜
c
2
，|3y-3b|＜
c
2
，∴|2x-2a|+|3y-3b|＜c．
再由|2x-3y-2a+3b|=|（2x-2a）-（3y-3b）|≤|2x-2a|+|3y-3b|，
可得|2x-3y-2a+3b|＜c．
點(diǎn)評(píng)：本題可選圓的切線的性質(zhì)的應(yīng)用，考查同弧所對(duì)的圓周角等于弦切角，考查三角形相似的判斷和性質(zhì)．求曲線關(guān)于矩陣變換后的曲線方程．把參數(shù)方程化為普通方程的方法，把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，求兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)．絕對(duì)值不等式的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（選做題）在A，B，C，D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計(jì)20分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，⊙O的半徑OB垂直于直徑AC，M為AO上一點(diǎn)，BM的延長(zhǎng)線交⊙O于N，過(guò)
N點(diǎn)的切線交CA的延長(zhǎng)線于P．
（1）求證：PM2=PA•PC；
（2）若⊙O的半徑為2
3
，OA=
3
OM，求MN的長(zhǎng)．
B．選修4-2：矩陣與變換
曲線x2+4xy+2y2=1在二階矩陣M=
.
1a
b1
.
的作用下變換為曲線x2-2y2=1，求實(shí)數(shù)a，b的值；
C．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在極坐標(biāo)系中，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=
2
cos(θ+
π
4
)，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為
x=1+
4
5
t 
y=-1-
3
5
t 
（t為參數(shù)），求直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)．
D．選修4-5：不等式選講
設(shè)a，b，c均為正實(shí)數(shù)．
（1）若a+b+c=1，求a2+b2+c2的最小值；
（2）求證：
1
2a
+
1
2b
+
1
2c
≥
1
b+c
+
1
c+a
+
1
a+b
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

選做題：在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共20分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，PA切⊙O于點(diǎn)A，D為PA的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D引割線交⊙O于B、C兩點(diǎn)．求證：∠DPB=∠DCP．
B．選修4-2：矩陣與變換
設(shè)M=
.
10
02
.
，N=
.
1
2
0
01
.
，試求曲線y=sinx在矩陣MN變換下的曲線方程．
C．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在極坐標(biāo)系中，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=
2
cos(θ+
π
4
)，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為
x=1+
4
5
t
y=-1-
3
5
t
（t為參數(shù)），求直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)．
D．選修4-5：不等式選講
解不等式：|2x+1|-|x-4|＜2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（選做題）在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計(jì)20分．請(qǐng)?jiān)诖鹁砑堉付▍^(qū)域內(nèi)作答．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
（B）（選修4-2：矩陣與變換）
二階矩陣M有特征值λ=8，其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量e=
1
1
，并且矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)（-1，2）變換成點(diǎn)（-2，4），求矩陣M2．
（C）（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）
已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸與x軸的正半軸重合，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，直線l的參數(shù)方程為
x=-
3
t
y=1+t
（t為參數(shù)，t∈R）．試在曲線C上一點(diǎn)M，使它到直線l的距離最大．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

 選做題（在A、B、C、D四小題中只能選做兩題，并將選作標(biāo)記用2B鉛筆涂黑，每小題10分，共20分，請(qǐng)?jiān)诖痤}指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）．
A、（選修4-1：幾何證明選講）
如圖，BD為⊙O的直徑，AB=AC，AD交BC于E，求證：AB2=AE•AD
B、（選修4-2：矩形與變換）
已知a，b實(shí)數(shù)，如果矩陣M=
1a
b2
所對(duì)應(yīng)的變換將直線3x-y=1變換成x+2y=1，求a，b的值．
C、（選修4-4，：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）
設(shè)M、N分別是曲線ρ+2sinθ=0和ρsin（θ+
π
4
）=
2
2
上的動(dòng)點(diǎn)，判斷兩曲線的位置關(guān)系并求M、N間的最小距離．
D、（選修4-5：不等式選講）
設(shè)a，b，c是不完全相等的正數(shù)，求證：a+b+c＞
ab
+
bc
+
ca
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

選做題：在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計(jì)20分．請(qǐng)?jiān)诖鹁砑堉付▍^(qū)域內(nèi)作答．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，AD是∠BAC的平分線，⊙O過(guò)點(diǎn)A且與BC邊相切于點(diǎn)D，與AB、AC分別交于E，F(xiàn)，求證：EF∥BC．

B．選修4-2：矩陣與變換
已知a，b∈R若矩陣M=
.
-1a
b3
.
所對(duì)應(yīng)的變換把直線l：2x-y=3變換為自身，求a，b的值．

C．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
將參數(shù)方程
x=2(t+
1
t
)
y=4(t-
1
t
)
（t為參數(shù)）化為普通方程．
D．選修4-5：不等式選講
已知a，b是正數(shù)，求證：（a+
1
b
）（2b+
1
2a
）≥
9
2
．

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