Question

若一動(dòng)點(diǎn)M與定直線l：x=

16

5

及定點(diǎn)A（5，0）的距離比是4：5．
（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）設(shè)所求軌跡C上有點(diǎn)P與兩定點(diǎn)A和B（-5，0）的連線互相垂直，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析：（1）欲求軌跡C的方程，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（x，y），充分利用題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示即可；
（2）利用（1）中結(jié)論，利用雙曲線的定義結(jié)合垂直條件得到的直角三角形，即可求得|PA|•|PB|的值．

解答：解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（x，y），
根據(jù)題意得

|x- 16 5 |

(x-5)2+y2

=

4

5

，
化簡(jiǎn)得9x²-16y²=144，
即

x2

16

-

y2

9

=1．
（2）由（1）知軌跡C為雙曲線，A、B即為C的兩個(gè)焦點(diǎn)，
∴|PA|-|PB|=±8．①
又PA⊥PB，∴|PA|²+|PB|²=|AB|²=100．②
由②-①²得|PA|•|PB|=18．

點(diǎn)評(píng)：求曲線的軌跡方程是解析幾何的基本問(wèn)題．求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，用“坐標(biāo)化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系．