Question

（2012•黃州區(qū)模擬）三角形的內(nèi)角平分線定理是這樣敘述的：三角形一個內(nèi)角的平分線分對邊所成的兩條線段與這個角的兩邊對應成比例．已知在△ABC中，∠A=60°，∠A的平分線AD交邊BC于點D，設AB=3，且

AD

=

1

3

AC

+λ

AB

（λ∈R），則AD的長為（　　）

• A．2

  3

• B．

  3

• C．1
• D．3

Answer 1

分析：作DG∥AB，DH∥AC，證明△ADH≌△ADG，可得AG=DH=

1

3

AC，根據(jù)△BDH∽△BCA，可得BH=

1

3

BA=1，從而HA=HD=2，根據(jù)等腰三角形知識可求AD的長．

解答：解：如圖，作DG∥AB，DH∥AC，則向量

AD

=

AH

 + 

AG

，
∴

AG

=

1

3

AC

．
因為AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠DAC=30°．
因為DG∥AB，所以∠ADH=30°=∠DAH，所以AH=DH，同理，AG=DG．
∴△ADH≌△ADG，∴AG=DH=

1

3

AC．
又因為△BDH∽△BCA，所以BH=

1

3

BA=1，所以HA=HD=2，
根據(jù)等腰三角形知識可知AD=2

3

，
故選A．

點評：本題考查向量知識的運用，考查三角形的全等與相似，屬于中檔題．