Question

已知離心率為

5

2

的雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)F₁、F₂在x軸上，雙曲線C的右支上一點(diǎn)A使

AF1

•

AF2

=0且△F₁AF₂的面積為1．
（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l：y=kx+m與雙曲線C相交于E、F兩點(diǎn)（E、F不是左右頂點(diǎn)），且以EF為直徑的圓過雙曲線C的右頂點(diǎn)D．求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由題意設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，由已知得：e=

c

a

=

a2+b2

a

=

5

2

，解得a=2b．由

AF1

•

AF2

=0且△F₁AF₂的面積為1，知（|F₁A|-|F₂A|）²=4c²-4=4a²，由此能求出雙曲線C的方程．
（2）△=（8km）²-4（4m²+4）（4k²-1）＞0，

x1+x2=- 8km 4k2-1 x1x2= 4m2+1 4k2-1

，AE=AD•sin∠ADE=

3 5

5

a，由以EF為直徑的圓過雙曲線C的右頂點(diǎn)D（2，0），知Rt△PAE即tan∠PEA=

PA

AE

=

5

3

，由此入手能夠?qū)С鲋本�過定點(diǎn)（

π

6

，0）．

解答：解：（1）由題意設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，
由已知得：e=

c

a

=

a2+b2

a

=

5

2

解得a=2b，
∵

AF1

•

AF2

=0且△F₁AF₂的面積為1，
∴|F1A|-|F2A|=2a，S△F1AF2=

1

2

|F1A|•|F2A|=1，|F₁A|²+|F₂A|²=|F₁F₂|²
∴（|F₁A|-|F₂A|）²=4c²-4=4a²
∴b=1，a=2，
∴雙曲線C的保準(zhǔn)方程為

x2

4

-y2=1．
（2）設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂） 聯(lián)立y=kx+m與雙曲線

x2

4

-y²=1
得（4k²-1）x²+8kmx+4（m²+1）=0
△=（8km）²-4（4m²+4）（4k²-1）＞0
即4k²-m²-1＜0
則

x1+x2=- 8km 4k2-1 x1x2= 4m2+4 4k2-1

，
又∴AE=AD•sin∠ADE=

3 5

5

a
∵以EF為直徑的圓過雙曲線C的右頂點(diǎn)D（2，0）
∴Rt△PAE即tan∠PEA=

PA

AE

=

5

3

∴AH=

2

2

a
∴

AC1

=(0，-2，2)，且均滿足

EG

=(-1，1，h)．
∵AC₁⊥EG，∴

EG

•

AC1

=0．
當(dāng)

m

=(x，y，z)時(shí)，直線

m

⊥

FE

，

m

⊥

EG

的方程為

0×x+1×y+0×z=0 -x+y+z=0.

，
直線過定點(diǎn)（2，0），與已知矛盾！
當(dāng)sinθ=

| m • AC1 |

| m |•| AC1 |

=

2

2 ×2 2

=

1

2

時(shí)，
直線θ=

π

6

的方程為θ，直線過定點(diǎn)（

π

6

，0）
∴直線l定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為（

π

6

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的方程的求法和求證直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．