Question

已知是橢圓上兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為.
（1）當(dāng)兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，且為等邊三角形時(shí)，求的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)兩點(diǎn)不關(guān)于軸對(duì)稱時(shí)，證明：不可能為等邊三角形.

Answer 1

（1）或，（2）詳見解析.

試題分析：（1）求的長(zhǎng)，實(shí)際求出坐標(biāo).利用正三角形性質(zhì)列等量關(guān)系.設(shè),，則.又點(diǎn)在橢圓上，所以解得或，或，（2）本題實(shí)際應(yīng)用逆否命題與原命題等價(jià)進(jìn)行解題，即當(dāng)為等邊三角形時(shí)，兩點(diǎn)必關(guān)于軸對(duì)稱，即橫坐標(biāo)相等.設(shè)，則由，可化簡(jiǎn)，同理可得，而，因此或又所以.
試題解析：解：
（1）設(shè),，                   1分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042812296585.png" style="vertical-align:middle;" />為等邊三角形，所以.                2分
又點(diǎn)在橢圓上，
所以消去，                  3分
得到，解得或，                 4分
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，.                   5分
{說明：若少一種情況扣2分}
（2）法1：根據(jù)題意可知，直線斜率存在.
設(shè)直線:，，，中點(diǎn)為，
聯(lián)立消去得，         6分
由得到①              7分
所以,
，              8分
所以，又
如果為等邊三角形，則有，             9分
所以，即，               10分
化簡(jiǎn)，②               11分
由②得，代入①得，
化簡(jiǎn)得，不成立，                 13分
{此步化簡(jiǎn)成或或都給分}
故不能為等邊三角形.                  -14分
法2：設(shè)，則，且，
所以，        8分
設(shè)，同理可得，且        9分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042813061780.png" style="vertical-align:middle;" />在上單調(diào)
所以，有，                11分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042813123409.png" style="vertical-align:middle;" />不關(guān)于軸對(duì)稱，所以.
所以，                -13分
所以不可能為等邊三角形.                14分