Question

【題目】長為的線段的兩個端點和分別在軸和軸上滑動.

（1）求線段的中點的軌跡的方程；

（2）當時，曲線與軸交于兩點，點在線段上，過作軸的垂線交曲線于不同的兩點，點在線段上，滿足與的斜率之積為-2，試求與的面積之比.

Answer 1

【答案】（1）（2）．

【解析】試題分析：（1）設線段的中點為，根據(jù)平面上兩點間的距離公式，即可求解線段的中點的軌跡的方程；

（2）當時，直線和直線的方程，聯(lián)立方程組，求得點的坐標，即可得打結果．

試題解析：

設線段的中點為，則， ，

故，

化簡得，此即線段的中點的軌跡的方程；

【法二：當、重合或、重合時， 中點到原點距離為；

當、、不共線時，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，知中點到原點距離也恒為，

故線段的中點的軌跡的方程為】

（2）當時，曲線的方程為，它與軸的交點為、，

設， ， ，

直線的斜率，故直線的斜率，

直線的方程是，

而直線的方程是，即

聯(lián)立，解得，此即點的坐標，

故．