Question

已知空間向量

a

=（sinα，-1，cosα），

b

=（1，2cosα，1），

a

•

b

=

1

5

，α∈(0，

π

2

)
（1）求sin2α及sinα，cosα的值；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=5cos（2x-a）+cos2x（x∈R），求f（x）的最小正周期及f（x）取得最大值時(shí)x的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數(shù)量積公式結(jié)合同角三角函數(shù)公式，即可求sin2α及sinα，cosα的值；
（2）先化簡函數(shù)，在利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）∵

a

=（sinα，-1，cosα），

b

=（1，2cosα，1），

a

•

b

=

1

5

，
∴sinα-cosα=

1

5

①，
∴1-2sinαcosα=

1

25

，∴sin2α=

24

25

②
聯(lián)立①，②解得：sinα=

4

5

，cosα=

3

5

（2）f（x）=5cos（2x-α）+cos2x=5cos2xcosα+5sin2xsinα+cos2x
=3cos2x+4sin2x+cos2x=4（sin2x+cos2x）=4

2

sin(2x+

π

4

)
∴f（x）的最小正周期T=π
當(dāng)2x+

π

4

=2kπ+

π

2

時(shí)，f(x)max=4

2

，此時(shí)x=kπ+

π

8

，(k∈Z)．

點(diǎn)評：本題考查向量的數(shù)量積公式、同角三角函數(shù)公式，考查三角函數(shù)的化簡，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．