(1)選修4-2:矩陣與變換
已知矩陣M=(
2a
2b
)的兩^E值分別為λ1=-1和λ2=4.
(I)求實(shí)數(shù)的值;
(II )求直線x-2y-3=0在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下的像的方程.
(2)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)平面內(nèi),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知曲線C的參數(shù)方程為
x=sinα
y=2cos2α-2
,
(a為餓),曲線D的鍵標(biāo)方程為ρsin(θ-
π
4
)=-
3
2
2

(I )將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程;
(II)判斷曲線c與曲線D的交點(diǎn)個(gè)數(shù),并說明理由.
(3)選修4-5:不等式選講
已知a,b為正實(shí)數(shù).
(I)求證:
a2
b
+
b2
a
≥a+b;
(II)利用(I)的結(jié)論求函數(shù)y=
(1-x)2
x
+
x2
1-x
(0<x<1)的最小值.
分析:A:(I)先寫出矩陣A的特征多項(xiàng)式,再結(jié)合由于λ1=-1和λ2=4是此函數(shù)的零點(diǎn)即可求得a,b.
(II)先直線x-2y-3=0上任一點(diǎn)(x,y)在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下的像(x′,y′),根據(jù)矩陣變換得出它們之間的關(guān)系,從而求直線x-2y-3=0在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下的像的方程
B:(I)利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系,即利用ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,進(jìn)行代換即得直角坐標(biāo)系,再利用直角坐標(biāo)方程求解即可.
(II)由上述方程消去y得到:2x2+x-3=0,再根據(jù)根的判別式進(jìn)行判斷此方程有兩個(gè)不等的實(shí)根即可得出曲線c與曲線D的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是2.
C:(I)利用基本不等式a2+b2≥2ab,乘積一定,和有最小值,等號(hào)成立的條件是兩正數(shù)相等;
(2)利用(1)的結(jié)論,可推知當(dāng)函數(shù)y=
(1-x)2
x
+
x2
1-x
(0<x<1)的最小值,進(jìn)而最小值也可求.
解答:A:解:(I)矩陣A的特征多項(xiàng)式為:f(λ)=
.
λ-2-a
-2λ-b
.
,
即f(λ)=λ2-(b+2)λ+2b-2a,
由于λ1=-1和λ2=4是此函數(shù)的零點(diǎn),
3=b+2
-4=2b-2a
?
a=3
b=1

(II)由上知,M=
23
21
,
直線x-2y-3=0上任一點(diǎn)(x,y)在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下的像(x′,y′)
x′ 
y′ 
=
23
21
x 
y 
得到:
x=
-x′+3y′
4
y=
x′-y′
2
代入x-2y-3=0化簡(jiǎn)得到5x′-7y′+12=0.
直線x-2y-3=0在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下的像的方程5x-7y+12=0.
B:解:(I)∵已知曲線C的參數(shù)方程為
x=sinα
y=2cos2α-2
,
∴消去參數(shù)α得:x2=-
y
2
,x∈[-1,1].
(II)由方程為ρsin(θ-
π
4
)=-
3
2
2
.得到:曲線D的方程為:x-y-3=0.
由上述方程消去y得到:2x2+x-3=0,此方程有兩個(gè)不等的實(shí)根,
∴曲線c與曲線D的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是2.
C:解:(I)(
a2
b
+
b2
a
)(b+a)=a2+
a 3
b
+b2+
b3
a
≥a2+b2+2ab=(a+b)2
a2
b
+
b2
a
≥a+b;
(II)解:依題意可知 y=
(1-x)2
x
+
x2
1-x
≥1
∴y=
(1-x)2
x
+
x2
1-x
(0<x<1)最小值為1.
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查參數(shù)方程化成普通方程、復(fù)合變換與二階矩陣的乘法、不等式的證明等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎(chǔ)題.特別是本題C考查不等式的應(yīng)用,另外給你一種解題工具,讓你應(yīng)用它來解答某一問題,這是近年考試命題的一種新穎的題型之一,很值得讀者深刻反思和領(lǐng)悟當(dāng)中的思維本質(zhì).
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 (本題是選做題,滿分28分,請(qǐng)?jiān)谙旅嫠膫(gè)題目中選兩個(gè)作答,每小題14分,多做按前兩題給分)

A.(選修4-1:幾何證明選講)

如圖,△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,PA是⊙O的切線,PBAC于點(diǎn)E,交⊙O于點(diǎn)D,若PEPA,,PD=1,BD=8,求線段BC的長(zhǎng).

 

 

 

 

 

 

B.(選修4-2:矩陣與變換)

在直角坐標(biāo)系中,已知橢圓,矩陣陣,,求在矩陣作用下變換所得到的圖形的面積.

C.(選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程)

直線(為參數(shù),為常數(shù)且)被以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,方程為的曲線所截,求截得的弦長(zhǎng).

D.(選修4-5:不等式選講)

設(shè),求證:.

 

 

 

 

 

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