Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面，，，，為的中點(diǎn)，是上的點(diǎn).

（1）若平面，證明：平面.

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）因?yàn)?/span>，利用線面平行的判定定理可證出平面，利用點(diǎn)線面的位置關(guān)系，得出和，由于底面，利用線面垂直的性質(zhì)，得出

，且，最后結(jié)合線面垂直的判定定理得出平面，即可證出平面.

（2）由（1）可知，，兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，標(biāo)出點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算求出所需向量，分別求出平面和平面的法向量，最后利用空間二面角公式，即可求出的余弦值.

（1）證明：因?yàn)?/span>，平面，平面，

所以平面，

因?yàn)?/span>平面，平面，所以可設(shè)平面平面，

又因?yàn)?/span>平面，所以.

因?yàn)?/span>平面，平面，

所以，從而得.

因?yàn)?/span>底面，所以.

因?yàn)?/span>，所以.

因?yàn)?/span>，所以平面.

綜上，平面.

（2）解：由（1）可得，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，，，所在

直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)?/span>，所以，

則，，，，

所以，，，.

設(shè)是平面的法向量，

由取

取，得.

設(shè)是平面的法向量，

由得

取，得，

所以，

即的余弦值為.