Question

如圖，已知橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，且異于點(diǎn)，直線與直線分別交于點(diǎn)，

（Ⅰ）設(shè)直線的斜率分別為，求證：為定值；
（Ⅱ）求線段的長的最小值；
（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，以為直徑的圓是否經(jīng)過某定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）或.

試題分析：（Ⅰ）隨點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而變化，故設(shè)點(diǎn)表示，進(jìn)而化簡整體消去變量；（Ⅱ）點(diǎn)的位置由直線，生成，所以可用兩直線方程解出交點(diǎn)坐標(biāo)，求出，它必是的函數(shù)，利用基本不等式求出最小值； （Ⅲ）利用的坐標(biāo)求出圓的方程，方程必含有參數(shù)，消去一個(gè)后，利用等式恒成立方法求出圓所過定點(diǎn)坐標(biāo).
試題解析：（Ⅰ），令，則由題設(shè)可知，
∴直線的斜率，的斜率，又點(diǎn)在橢圓上，
所以，（），從而有.
（Ⅱ）由題設(shè)可以得到直線的方程為，
直線的方程為，
由，  由，
直線與直線的交點(diǎn)，直線與直線的交點(diǎn).
又，
等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取到，故線段長的最小值是.
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)是以為直徑的圓上的任意一點(diǎn)，則，故有
，又，所以以為直徑的圓的方程為
，令解得，
以為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)和.