Question

（2008•奉賢區(qū)二模）如圖：中心為原點(diǎn)的雙曲線的一條漸近線為y=x，焦點(diǎn)A、B在x軸上，焦距|AB|為2

2

．
（1）求此雙曲線方程；
（2）過(guò)P（2，0）的直線L交雙曲線于點(diǎn)M、N，Q(

1

2

，0)．求證：對(duì)于任意直線L，數(shù)量積

QM

•

QN

是定值，并求出該定值．
（3）在（2）的條件下，求|QM|²+|QN|²-|MN|²的值．

Answer 1

分析：（1）由漸進(jìn)線為y=±x，知雙曲線是等軸雙曲線x²-y²=a²，離心率e=

2

．由此能求出其方程．
（2）設(shè)MN的方程為x=my+2，代入x²-y²=1，得（m²-1）y²+4my+3=0，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則y₁+y₂=-

4m

m2-1

，y₁y₂=

3

m2-1

．

QM

•

QN

=x1x2-b(x1+x2)+b2+y1y2=（m²+1）y₁y₂+m（2-b）（y₁+y₂）+4-4b+b²為定值，由此得到證明．
（3）|QM|²+|QN|²-|MN|²=（x₁-1）²+（y₁）²+（x₂-1）²+（y₂）²-（x₁-x₂）²-（y₁-y₂）²=2m（y₁+y₂）=

8m2

1-m2

，由此能求出|QM|²+|QN|²-|MN|²的值．

解答：解：（1）∵漸進(jìn)線為y=±x，∴是等軸雙曲線x²-y²=a²，離心率e=

2

．
又2c=2

2

，∴c²=2a²，a=1，方程為x²-y²=1．
（2）設(shè)MN的方程為x=my+2，代入x²-y²=1，得（m²-1）y²+4my+3=0，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則y₁+y₂=-

4m

m2-1

，y₁y₂=

3

m2-1

．

QM

•

QN

=x1x2-b(x1+x2)+b2+y1y2
=（m²+1）y₁y₂+m（2-b）（y₁+y₂）+4-4b+b²為定值，可得（b²-1）m²-

1

m2-1

（b²-4b+1）=C（定值）…（*）
∴（b²-1-C）m²-（b²-4b+1-C）=0而與m的取值無(wú)關(guān)，
∴b²-1-C=b²-4b+1-C=0，∴C=-

3

4

，b=

1

2

．
（3）|QM|²+|QN|²-|MN|²=（x₁-1）²+（y₁）²+（x₂-1）²+（y₂）²-（x₁-x₂）²-（y₁-y₂）²=2m（y₁+y₂）=

8m2

1-m2

，
由（2）知 C=-

3

4

，b=

1

2

，代入（*）式，得m²=2，
∴|QM|²+|QN|²-|MN|²=

8m2

1-m2

=-16．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．