【題目】在無窮數(shù)列中,,記項(xiàng)中的最大項(xiàng)為,最小項(xiàng)為,令.

1)若的前項(xiàng)和滿足.

①求

②是否存在正整數(shù)滿足?若存在,請(qǐng)求出這樣的,若不存在,請(qǐng)說明理由.

2)若數(shù)列是等比數(shù)列,求證:數(shù)列是等比數(shù)列.

【答案】1)①;②存在,,;(2)證明見解析

【解析】

(1)①根據(jù),先求出,再由,求出,即可得出

②先假設(shè)存在滿足條件的正整數(shù)滿足題意,得出,設(shè),研究其增減性,設(shè),得,設(shè),研究其增減性,進(jìn)而可得出結(jié)果;

(2)因?yàn)?/span>,且、分別為項(xiàng)中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng),所以,,設(shè)數(shù)列的公比為,顯然,分別討論,,三種情況,即可得出結(jié)果.

解:①在中,令,得,解得,∴,

當(dāng)時(shí),,

綜上.

顯然為單調(diào)遞增數(shù)列,所以,,所以.

②假設(shè)存在滿足條件的正整數(shù),則,所以

設(shè),則,所以

,得,∴,則,

當(dāng)時(shí),顯然不成立,

當(dāng)時(shí),

設(shè),則,,得

設(shè),則恒成立,

所以數(shù)列單調(diào)遞減,而,,則時(shí),恒成立,

故方程的解有且僅有,,

故滿足條件的存在,,.

2)證明:因?yàn)?/span>,且分別為項(xiàng)中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng),

所以,,設(shè)數(shù)列的公比為,顯然,

①當(dāng)時(shí),,得,

,則,由的含義可知不可能同時(shí)成立,

,則,則,,∴,∴,

所以數(shù)列是等比數(shù)列.

②當(dāng)時(shí),,得,

,∴恒成立,而,所以,∴恒成立,

,代入,即,

所以數(shù)列是等比數(shù)列.

③當(dāng)時(shí),,得,

,∴恒成立,而,所以,∴恒成立,

,,代入,即,

所以數(shù)列是等比數(shù)列.

綜上①②③,數(shù)列是等比數(shù)列.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.16B.17C.24D.25

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