橢圓與雙曲線有許多優(yōu)美的對偶性質(zhì),對于橢圓有如下命題:已知A、F、B分別是優(yōu)美橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)(離心率為黃金分割比
5
-1
2
的橢圓)的左頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn),則AB⊥BF.那么對于雙曲線則有如下命題:已知A、F、B分別是優(yōu)美雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>b>0)(離心率為黃金分割比的倒數(shù)
5
+1
2
的雙曲線)的左頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)和其虛軸的上端點(diǎn),則有( 。
分析:根據(jù)圖象可知AB2=a2+b2=c2,BF2=b2+c2=2c2-a2,進(jìn)而根據(jù)
c
a
=
5
+1
2
求得AF2=
6+2
5
4
c2,進(jìn)而表示出AB2+BF2,最后可得AF2=AB2+BF2,根據(jù)勾股定理判斷出AB⊥BF.
解答:解:如圖,AB2=a2+b2=c2,BF2=b2+c2=2c2-a2,
c
a
=
5
+1
2
,
c2
a2
=
6+2
5
4

∴AF2=(
5
-1
2
c+c)2=
(
5
+1)2
4
c2=
6+2
5
4
c2,
而AB2+BF2=c2+2c2-a2=3c2-(
5
-1
2
c)2=3c2-
6-2
5
4
c2=
6+2
5
4
c2,
∴AF2=AB2+BF2,故AB⊥BF.
故選A
點(diǎn)評:本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì).要利用好雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中的a,b和c的關(guān)系.
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橢圓與雙曲線有許多優(yōu)美的對偶性質(zhì),如對于橢圓有如下命題:AB是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的不平行于對稱軸且不過原點(diǎn)的弦,M為AB的中點(diǎn),則kOM•kAB=-
b2
a2
.那么對于雙曲線則有如下命題:AB是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的不平行于對稱軸且不過原點(diǎn)的弦,M為AB的中點(diǎn),則kOM•kAB=
 

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橢圓與雙曲線有許多優(yōu)美的對偶性質(zhì),對于橢圓有如下命題:已知A、F、B分別是優(yōu)美橢圓+=1(a>b>0)(離心率為黃金分割比的橢圓)的左頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn),則AB⊥BF.那么對于雙曲線則有如下命題:已知A、F、B分別是優(yōu)美雙曲線-=1(a>b>0)(離心率為黃金分割比的倒數(shù)的雙曲線)的左頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)和其虛軸的上端點(diǎn),則有( )
A.AB⊥BF
B.AF⊥BF
C.AB⊥AF
D.AB∥BF

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