Question

已知橢圓，直線l：，P點(diǎn)是l上一點(diǎn)，射線OP交橢圓于點(diǎn)R，又點(diǎn)Q在OP上且滿足。當(dāng)點(diǎn)P在l上移動時，求點(diǎn)Q的軌跡方程。

Answer 1

解法一：設(shè)Q ，Q點(diǎn)不在原點(diǎn)，

         顯然x,y不同是為零

         ①P點(diǎn)不在y軸時，即時

         ∵ R不在橢圓上

         ∴

         又∵

         ∵ P點(diǎn)在直線l上，∴

         解得：

         ∵

          

         ∵ x、y不同時為零

         ∴

         ∵ Q點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O在直線l的同側(cè)

         ∴

         則：

         即：

         ②P點(diǎn)在y軸上時，P（0，8）

         k（0，4）

         可得Q（0，2），Q點(diǎn)滿足這個方程

         ∴ 所求的軌跡方程是

         解法二：點(diǎn)的坐標(biāo)同上，過P、R、Q分別作y軸的垂線，垂足分別記作

         ∵

         又∵

         ∴  

         即

         由題已知 三個量同號

         ∴

         設(shè) 射線OP方程為

         則

         又R也在OP上，∴

         代入中

        

        

         化簡：

                  

         ∵

         則為所求的軌跡方程

                                              

解析:

本題動點(diǎn)Q的運(yùn)動依賴于①P點(diǎn)的運(yùn)動。②這樣兩個關(guān)系，又O、Q、R、P、D點(diǎn)共線，可以把P點(diǎn)、R點(diǎn)的坐標(biāo)分別用動點(diǎn)Q的坐標(biāo)表示后一起代入③④⑤ 中去整理�；�簡得軌跡方程；另外也可以過Q、R、P三點(diǎn)分別做y軸的垂線，將轉(zhuǎn)化成這三點(diǎn)縱坐標(biāo)的關(guān)系，再求軌跡方程。本題解法一仍是坐標(biāo)代換法的一種形式，主要是將動點(diǎn)的相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)用動點(diǎn)坐標(biāo)表示后，代入聯(lián)系著它們的等式中，求出動點(diǎn)的軌跡方程，這里因P點(diǎn)在直線l：上運(yùn)動，而該直線與y軸可以相交，當(dāng)P點(diǎn)在 y軸上時，R、Q也相對確定成為定值，所以在解決這個問題時，先兩步，第一部P在直線l上，運(yùn)動不在y軸時（完全是“動態(tài)”）情況，第二步必須再看P在y軸時Q點(diǎn)做為定點(diǎn)是否符合所求的軌跡方程。這正是容易被忽略的，必須注意。

         綜上，在圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程這部分內(nèi)容中，應(yīng)掌握的求曲線方程的基本方法。由于求曲線方程是平面解析幾何兩個主要內(nèi)容之一，可以題型多，方法多。但因為坐標(biāo)軸平移還沒學(xué)到因而涉及到園錐曲線的一般式的問題后再講。