(2012•韶關(guān)一模)設(shè)拋物線C的方程為x2=4y,M(x0,y0)為直線l:y=-m(m>0)上任意一點,過點M作拋物線C的兩條切線MA,MB,切點分別為A,B.
(1)當(dāng)M的坐標(biāo)為(0,-1)時,求過M,A,B三點的圓的方程,并判斷直線l與此圓的位置關(guān)系;
(2)求證:直線AB恒過定點(0,m).
分析:(1)設(shè)過M點的切線方程,代入x2=4y,整理得x2-4kx+4=0,令△=0,可得A,B的坐標(biāo),利用M到AB的中點(0,1)的距離為2,可得過M,A,B三點的圓的方程,從而可判斷圓與直線l:y=-1相切;
(2)證法一:設(shè)切點分別為A(x1,y1),B(x2,y2),過拋物線上點A(x1,y1)的切線方程為(y-
y
 
1
)=k(x-x1)
,代入x2=4y,消元,利用△=0,即可確定k=
x1
2
,利用切線過點M(x0,y0),所以可得y0=
x1
2
x0-y1
,同理可得y0=
x2
2
x0-
x
2
2
4
,由此可得直線AB的方程,從而可得結(jié)論;
證法二:設(shè)過M(x0,y0)的拋物線的切線方程為y-
y
 
0
=k(x-x0)
(k≠0),代入x2=4y,消去y,利用韋達定理,確定直線AB的方程,從而可得結(jié)論;
證法三:利用導(dǎo)數(shù)法,確定切線的斜率,得切線方程,由此可得直線AB的方程,從而可得結(jié)論.
解答:(1)解:當(dāng)M的坐標(biāo)為(0,-1)時,設(shè)過M點的切線方程為y=kx-1,代入x2=4y,整理得x2-4kx+4=0,
令△=(4k)2-4×4=0,解得k=±1,
代入方程得x=±2,故得A(2,1),B(-2,1),…(2分)
因為M到AB的中點(0,1)的距離為2,
從而過M,A,B三點的圓的方程為x2+(y-1)2=4.
∵圓心坐標(biāo)為(0,1),半徑為2,∴圓與直線l:y=-1相切…(4分)
(2)證法一:設(shè)切點分別為A(x1,y1),B(x2,y2),過拋物線上點A(x1,y1)的切線方程為(y-
y
 
1
)=k(x-x1)
,代入x2=4y,整理得x2-4kx+4(kx1-y1)=0△=(4k)2-4×4(kx1-y1)=0,又因為x12=4y1,所以k=
x1
2
…(6分)
從而過拋物線上點A(x1,y1)的切線方程為y-
y
 
1
=
x1
2
(x-x1)
y=
x1
2
x-
x
2
1
4

又切線過點M(x0,y0),所以得y0=
x1
2
x0-
x
2
1
4
①即y0=
x1
2
x0-y1
…(8分)
同理可得過點B(x2,y2)的切線為y=
x2
2
x-
x
2
2
4

又切線過點M(x0,y0),所以得y0=
x2
2
x0-
x
2
2
4
②…(10分)
y0=
x2
2
x0-y2
…(6分)
即點A(x1,y1),B(x2,y2)均滿足y0=
x
2
x0-y
即x0x=2(y0+y),故直線AB的方程為x0x=2(y0+y)…(12分)
又M(x0,y0)為直線l:y=-m(m>0)上任意一點,故x0x=2(y-m)對任意x0成立,所以x=0,y=m,從而直線AB恒過定點(0,m)…(14分)
證法二:設(shè)過M(x0,y0)的拋物線的切線方程為y-
y
 
0
=k(x-x0)
(k≠0),代入x2=4y,消去y,得x2-4kx-4(y0-kx0)=0△=(4k)2+4×4(y0-kx0)=0即:k2+x0k+y0=0…(6分)
從而k1=
-x0+
x
2
0
-4y0
2
,k2=
-x0-
x
2
0
-4y0
2
此時x1=
2
k1
x2=
2
k2

所以切點A,B的坐標(biāo)分別為A(
2
k1
1
k12
)
,B(
2
k2
1
k22
)
…(8分)
因為kAB=
y1-y2
x1-x2
=
x1+x2
4
=
x0
2
,
x1+x2
2
=
2
k1
+
2
k2
2
=
k1+k2
k1k2
=x0
y1+y2
2
=
1
k12
+
1
k22
2
=
(k1+k2)2-2k1k2
2(k1k2)2
=
x
2
0
-2y0
2
,
所以AB的中點坐標(biāo)為(x0
x
2
0
-2y0
2
)
…(11分)
故直線AB的方程為y-
x
2
0
-2y0
2
=
x0
2
(x-x0)
,即x0x=2(y0+y)…(12分)
又M(x0,y0)為直線l:y=-m(m>0)上任意一點,故x0x=2(y-m)對任意x0成立,所以x=0,y=m,從而直線AB恒過定點(0,m)…(14分)
證法三:由已知得y=
x2
4
,求導(dǎo)得y=
x
2
,切點分別為A(x1,y1),B(x2,y2),故過點A(x1,y1)的切線斜率為k=
x1
2
,從而切線方程為(y-
y
 
1
)=
x1
2
(x-x1)
y=
x1
2
x-
x
2
1
4

…(7分)
又切線過點M(x0,y0),所以得y0=
x1
2
x0-
x
2
1
4
①即y0=
x1
2
x0-y1
…(8分)
同理可得過點B(x2,y2)的切線為y=
x2
2
x-
x
2
2
4
,
又切線過點M(x0,y0),所以得y0=
x2
2
x0-
x
2
2
4
②即y0=
x2
2
x0-y2
…(10分)
即點A(x1,y1),B(x2,y2)均滿足y0=
x
2
x0-y
即x0x=2(y0+y),故直線AB的方程為x0x=2(y0+y)…(12分)
又M(x0,y0)為直線l:y=-m(m>0)上任意一點,故x0x=2(y-m)對任意x0成立,所以x=0,y=m,從而直線AB恒過定點(0,m)…(14分)
點評:本題考查圓的方程,考查拋物線的切線,考查直線恒過定點,確定切線方程,及直線AB的方程是關(guān)鍵.
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a
、
b
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a
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21-i
+i3
的值等于
1
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