【題目】點(diǎn)P是棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一點(diǎn),則的取值范圍是__.
【答案】[﹣,0]
【解析】
建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y,z),則由題意可得0≤x≤1,0≤y≤1,z=1,計(jì)算x2﹣x,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得它的值域即可.
解:以點(diǎn)D為原點(diǎn),以DA所在的直線為x軸,以DC所在的直線為y軸,以DD1所在的直線為z軸,
建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示;
則點(diǎn)A(1,0,0),C1 (0,1,1),
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y,z),由題意可得 0≤x≤1,0≤y≤1,z=1;
∴(1﹣x,﹣y,﹣1),(﹣x,1﹣y,0),
∴x(1﹣x)﹣y(1﹣y)+0=x2﹣x+y2﹣y,
由二次函數(shù)的性質(zhì)可得,當(dāng)x=y時(shí),取得最小值為;
當(dāng)x=0或1,且y=0或1時(shí),取得最大值為0,
則的取值范圍是[,0].
故答案為:[,0].
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)是定義在上的函數(shù),若對任何實(shí)數(shù)以及中的任意兩數(shù)、,恒有,則稱為定義在上的函數(shù).
(1)證明函數(shù)是定義域上的函數(shù);
(2)判斷函數(shù)是否為定義域上的函數(shù),請說明理由;
(3)若是定義域?yàn)?/span>的函數(shù),且最小正周期為,試證明不是上的函數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對同學(xué)們而言,冬日的早晨離開暖融融的被窩,總是一個(gè)巨大的挑戰(zhàn),而咬牙起床的唯一動力,就是上學(xué)能夠不遲到.己知學(xué)校要求每天早晨7:15之前到校,7:15之后到校記為遲到.小明每天6:15會被媽媽叫醒起味,吃早餐、洗漱等晨間活動需要半個(gè)小時(shí),故每天6:45小明就可以出門去上學(xué).從家到學(xué)校的路上,若小明選擇步行到校,則路上所花費(fèi)的時(shí)間相對準(zhǔn)確,若以隨機(jī)變量(分鐘)表示步行到校的時(shí)間,可以認(rèn)為.若小明選擇騎共享單車上學(xué),雖然騎行速度快于步行,不過由于車況、路況等不確定因素,路上所需時(shí)間的隨機(jī)性增加,若以隨機(jī)變量(分鐘)描述騎車到校的時(shí)間,可以認(rèn)為.若小明選擇坐公交車上學(xué),速度很快,但是由于等車時(shí)間、路況等不確定因素,路上所需時(shí)間的隨機(jī)性進(jìn)一步增加,若以隨機(jī)變量(分鐘)描述坐公交車到校所需的時(shí)間,則可以認(rèn)為.
(1)若某天小明媽媽出差沒在家,小明一覺醒來已經(jīng)是6:40了,他抓緊時(shí)間洗漱更衣,沒吃早飯就出發(fā)了,出門時(shí)候是6:50.請問,小明是否有某種出行方案,能夠保證上學(xué)不遲到?小明此時(shí)的最優(yōu)選擇是什么?
(2)已知共享單車每20分鐘收費(fèi)一元,若小明本周五天都騎共享單車上學(xué),以隨機(jī)變量表示這五天小明上學(xué)騎車的費(fèi)用,求的期望與方差(此小題結(jié)果均保留三位有效數(shù)字)
已知若隨機(jī)變量,則%,%,%.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給定整數(shù),數(shù)列、、、每項(xiàng)均為整數(shù),在中去掉一項(xiàng),并將剩下的數(shù)分成個(gè)數(shù)相同的兩組,其中一組數(shù)的和與另外一組數(shù)的和之差的最大值記為. 將、、、中的最小值稱為數(shù)列的特征值.
(Ⅰ)已知數(shù)列、、、、,寫出、、的值及的特征值;
(Ⅱ)若,當(dāng),其中、且時(shí),判斷與的大小關(guān)系,并說明理由;
(Ⅲ)已知數(shù)列的特征值為,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義max{x1,x2,x3,…,xn}表示x1,x2,x3,…,xn中的最大值.已知數(shù)列an=,bn=,cn=,其中n+m+p=200,m=kn,n,m,p,k∈N*.記dn=max{an,bn,cn}
(Ⅰ)求max{an,bn}
(Ⅱ)當(dāng)k=2時(shí),求dn的最小值;
(Ⅲ)k∈N*,求dn的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地?cái)M規(guī)劃種植一批芍藥,為了美觀,將種植區(qū)域(區(qū)域I)設(shè)計(jì)成半徑為1km的扇形,中心角().為方便觀賞,增加收入,在種植區(qū)域外圍規(guī)劃觀賞區(qū)(區(qū)域II)和休閑區(qū)(區(qū)域III),并將外圍區(qū)域按如圖所示的方案擴(kuò)建成正方形,其中點(diǎn),分別在邊和上.已知種植區(qū)、觀賞區(qū)和休閑區(qū)每平方千米的年收入分別是10萬元、20萬元、20萬元.
(1)要使觀賞區(qū)的年收入不低于5萬元,求的最大值;
(2)試問:當(dāng)為多少時(shí),年總收入最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A、B,雙曲線以A、B為頂點(diǎn),焦距為,點(diǎn)P是上在第一象限內(nèi)的動點(diǎn),直線AP與橢圓相交于另一點(diǎn)Q,線段AQ的中點(diǎn)為M,記直線AP的斜率為為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求雙曲線的方程;
(2)求點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的取值范圍;
(3)是否存在定直線使得直線BP與直線OM關(guān)于直線對稱?若存在,求直線的方程;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】根據(jù)閱兵領(lǐng)導(dǎo)小組辦公室介紹,2019年國慶70周年閱兵有59個(gè)方(梯)隊(duì)和聯(lián)合軍樂團(tuán),總規(guī)模約1.5萬人,是近幾次閱兵中規(guī)模最大的一次.其中,徒步方隊(duì)15個(gè).為了保證閱兵式時(shí)隊(duì)列保持整齊,各個(gè)方隊(duì)對受閱隊(duì)員的身高也有著非常嚴(yán)格的限制,太高或太矮都不行.徒步方隊(duì)隊(duì)員,男性身高普遍在175cm至185cm之間;女性身高普遍在163cm至175cm之間,這是常規(guī)標(biāo)準(zhǔn).要求最為嚴(yán)格的三軍儀仗隊(duì),其隊(duì)員的身高一般都在184cm至190cm之間.經(jīng)過隨機(jī)調(diào)查某個(gè)閱兵陣營中女子100人,得到她們身高的直方圖,如圖,記C為事件:“某一閱兵女子身高不低于169cm”,根據(jù)直方圖得到P(C)的估計(jì)值為0.5.
(1)求直方圖中a,b的值;
(2)估計(jì)這個(gè)陣營女子身高的平均值 (同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)
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