【題目】設(shè)函數(shù)，，其中，e是自然對數(shù)的底數(shù)．

（1）若在上存在兩個極值點(diǎn)，求a的取值范圍；

（2）當(dāng)，設(shè)，，若在上存在兩個極值點(diǎn)，，且，求證： ．

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）在上存在兩個極值點(diǎn)，則有兩根，再分離參數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)研究即可；

（2）要證即證，在上存在兩個極值點(diǎn)，，且，即有兩個零點(diǎn)，，可得，設(shè)，則，，即證，，即當(dāng)時，，設(shè)函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)性及函數(shù)的最值，即可得證.

解：（1），由題意可知，在上有兩個不同的實(shí)數(shù)根，

即，只需函數(shù)和圖象有兩個交點(diǎn)，

，易知在上為減函數(shù)，且，

當(dāng)時，，為增函數(shù)；當(dāng)時，，為減函數(shù)；

所以，所以，又當(dāng)，，，，

要使在上存在兩個極值點(diǎn)，則．

故的取值范圍為．

（2）易得，

在上存在兩個極值點(diǎn)，，且

有兩個零點(diǎn)，，

則，解得

于是

又，設(shè)則，因此，

要證，即證，

即當(dāng)時，，設(shè)函數(shù)，，則

所以，為上的增函數(shù)，又，因此

于是，當(dāng)時，有，

所以，有成立，即，得證

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，O是BD的中點(diǎn)，E是棱CC1上任意一點(diǎn)．

（1）證明：BD⊥A1E；

（2）如果AB=2，，OE⊥A1E，求AA1的長．

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【題目】已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為且滿足:

(1)求數(shù)列的通項公式；

(2)設(shè)求的值；

(3)是否存在大于2的正整數(shù)使得?若存在,求出所有符合條件的若不存在,請說明理由.

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【題目】如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，為線段的中點(diǎn)，若為線段上的動點(diǎn)（不含）.

（1）平面與平面是否互相垂直？如果是，請證明；如果不是，請說明理由；

（2）求二面角的余弦值的取值范圍.

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【題目】用一個長為，寬為的矩形鐵皮（如圖1）制作成一個直角圓形彎管（如圖3）：先在矩形的中間畫一條曲線，并沿曲線剪開，將所得的兩部分分別卷成體積相等的斜截圓柱狀（如圖2），然后將其中一個適當(dāng)翻轉(zhuǎn)拼接成直角圓形彎管（如圖3）（不計拼接損耗部分），并使得直角圓形彎管的體積最大；

（1）求直角圓形彎管（圖3）的體積；

（2）求斜截面橢圓的焦距；

（3）在相應(yīng)的圖1中建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使所畫的曲線的方程為，求出方程并畫出大致圖像；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=，O為AC與BD的交點(diǎn)，E為棱PB上一點(diǎn)．

（1）證明：平面EAC⊥平面PBD；

（2）若PD∥平面EAC，求三棱錐P-EAD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下面有五個命題：

①函數(shù)的最小正周期是；

②終邊在軸上的角的集合是；

③在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象有三個公共點(diǎn)；

④把函數(shù)的圖象向右平移個單位得到的圖象；

⑤函數(shù)在上是減函數(shù)；

其中真命題的序號是（　　）

A.①②⑤B.①④C.③⑤D.②④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】關(guān)于函數(shù)，給出以下四個命題：（1）當(dāng)時，單調(diào)遞減且沒有最值；（2）方程一定有實(shí)數(shù)解；（3）如果方程（為常數(shù)）有解，則解得個數(shù)一定是偶數(shù)；（4）是偶函數(shù)且有最小值.其中假命題的序號是____________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】關(guān)于函數(shù)的對稱性有如下結(jié)論：對于給定的函數(shù)，如果對于任意的都有成立為常數(shù)），則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱．

（1）用題設(shè)中的結(jié)論證明：函數(shù)關(guān)于點(diǎn)；

（2）若函數(shù)既關(guān)于點(diǎn)對稱，又關(guān)于點(diǎn)對稱，且當(dāng)時，，求：①的值；

②當(dāng)時，的表達(dá)式．

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