如圖所示,已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD⊥DCAB∥DC,且滿足
DC-DD1=2AD=2AB=2.
(1)求證:DB⊥平面B1BCC;
(2)求二面角A1-BD-C1的余弦值.

【答案】分析:(1)設(shè)E是DC的中點(diǎn),連接BE,BD⊥BC,又BD⊥BB1,B1B∩BC=B,根據(jù)線面垂直的判定定理可知BD⊥平面BCC1B1;
(2)取DB的中點(diǎn)F,連接A1F,取DC1的中點(diǎn)M,連接FM,根據(jù)二面角的定義證得∠A1FM為二面角A1-BD-C1的平面角,取D1C1的中點(diǎn)H,連接A1H,HM,在Rt△A1HM中求出∠A1FM即可.
解答:解:(1)設(shè)E是DC的中點(diǎn),連接BE,
則四邊形DABE為正方形,∴BE⊥CD.故BD=,BC=,CD=2,
∴∠DBC=90°,即BD⊥BC.
又BD⊥BB1,B1B∩BC=B
∴BD⊥平面BCC1B1,(6分)
(2)由(I)知DB⊥平面BCC1B1
又BC1?平面BCC1B1,∴BD⊥BC1,
取DB的中點(diǎn)F,連接A1F,又A1D=A1B,
則A1F⊥BD.取DC1的中點(diǎn)M,連接FM,則FM∥BC1,∴FM⊥BD.
∴∠A1FM為二面角A1-BD-C1的平面角.
連接A1M,在△A1FM中,A1F=,
FM===
取D1C1的中點(diǎn)H,連接A1H,HM,在Rt△A1HM中,
∵A1H=,HM=1,∴A1M=
∴cos∠A1FM=
∴二面角A1-BD-C1的余弦值為
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了直線與平面垂直,以及二面角等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力,屬于中檔題.
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