Question

如圖，在底面是菱形的四棱錐S-ABCD中，∠ABC=60°，SA=AB=a，SB=SD=

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SA，點P在SD上，且SD=3PD．
（1）證明SA⊥平面ABCD；
（2）設E是SC的中點，求證BE∥平面APC．

Answer 1

分析：（1）在△SAB中，利用勾股定理可證SA⊥AB，同理可證SA⊥AD，利用線面垂直的判定定理即可證明SA⊥平面ABCD；
（2）連BD，設BD與AC交于O，連OP，取SP的中點M，易證平面BME∥平面PAC，從而可得BE∥平面APC．

解答：證明：（1）證明：因為底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，
所以AB=AC=AD=a
在△SAB中，由SA²+AB²=2a²=SB²，知SA⊥AB，
同理SA⊥AD．
所以SA⊥平面ABCD．…（6分）
（2）連BD，設BD與AC交于O，連OP，O顯然平分BD，
取SP的中點M，
∵SD=3PD，
∴SM=MP=PD．…（8分）
因此，BM∥OP，又E是SC的中點，故EM∥CP．
從而平面BME∥平面PAC．
又BE?平面BME，故BE∥平面PAC．…（12分）

點評：本題考查直線與平面垂直的判定，考查面面垂直的性質，著重考查推理證明的能力，屬于中檔題