Question

設(shè)a為實常數(shù)，函數(shù)f（x）=-x³+ax²-4．
（1）若函數(shù)y=f（x）的圖象在點P（1，f（1））處的切線的傾斜角為

π

4

，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若存在x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＞0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，把x=1代入導(dǎo)函數(shù)中求出的導(dǎo)函數(shù)值即為切線的斜率，然后再根據(jù)切線的傾斜角求出切線的斜率，兩個斜率相等即可求出a的值，把a的值代入導(dǎo)函數(shù)確定出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于0，求出x的取值范圍即為函數(shù)的遞增區(qū)間，令導(dǎo)函數(shù)小于0求出x的范圍即為函數(shù)的遞減區(qū)間；
（2）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)a小于等于0時，由x大于0，得到導(dǎo)函數(shù)小于0，即函數(shù)在（0，+∞）上為減函數(shù)，又x=0時f（x）的值為-4且當(dāng)x大于0時，f（x）小于-4，所以當(dāng)a小于等于0時，不存在x₀＞0，使f（x₀）＞0；當(dāng)a大于0時，分區(qū)間討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性得到f（x）的最大值，讓最大值大于0，列出關(guān)于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范圍，綜上，得到滿足題意的z的取值范圍．

解答：解：（1）f′（x）=-3x²+2ax．根據(jù)題意f′（1）=tan

π

4

=1，
∴-3+2a=1，即a=2．∴f′（x）=-3x²+4x=-3x(x-

4

3

)．
當(dāng)f′（x）＞0，得x(x-

4

3

)＜0，即0＜x＜

4

3

；當(dāng)f′（x）＜0，得x(x-

4

3

)＞0，即x＜0或x＞

4

3

．
∴f′（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，

4

3

)，單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，0）∪(

4

3

，+∞)；
（2）f′（x）=-3x(x-

2a

3

)．
①若a≤0，當(dāng)x＞0時，f′（x）＜0，從而f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
又f（0）=-4，則當(dāng)x＞0時，f（x）＜-4．
∴當(dāng)a≤0時，不存在x₀＞0，使f（x₀）＞0；
②當(dāng)a＞0，則當(dāng)0＜x＜

2a

3

時，f′（x）＞0，當(dāng)x＞

2a

3

時，f′（x）＜0．
從而f（x）在(0，

2a

3

)上單調(diào)遞增，在(

2a

3

，+∞)上單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x∈（0，+∞）時，f（x）_max=f(

2a

3

)=-

8a3

27

+

4a3

9

-4=

4a3

27

-4．
據(jù)題意，

4a3

27

-4＞0，即a³＞27，∴a＞3．
故a的取值范圍是（3，+∞）．

點評：此題考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，是一道中檔題．