Question

如圖，設(shè)P是圓x²+y²=25上的動點(diǎn)，點(diǎn)D是P在x軸上的射影，M為PD上一點(diǎn)，且|MD|=

4

5

|PD|
（Ⅰ）當(dāng)P在圓上運(yùn)動時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C的方程
（Ⅱ）求過點(diǎn)（3，0）且斜率

4

5

的直線被C所截線段的長度．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意P是圓x²+y²=25上的動點(diǎn)，點(diǎn)D是P在x軸上的射影，M為PD上一點(diǎn)，且|MD|=

4

5

|PD|，利用相關(guān)點(diǎn)法即可求軌跡；
（Ⅱ）由題意寫出直線方程與曲線C的方程進(jìn)行聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到線段長度．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)M的坐標(biāo)為（x，y）P的坐標(biāo)為（x_p，y_p）
由已知得：

xp=x yp= 5 4 y

∵P在圓上，
∴x2+(

5

4

y)2=25，即C的方程為

x2

25

+

y2

16

=1．
（Ⅱ）過點(diǎn)（3，0）且斜率為

4

5

的直線方程為：y=

4

5

(x-3)，
設(shè)直線與C的交點(diǎn)為A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
將直線方程y=

4

5

(x-3)代入C的方程，得

x2

25

 +

(x-3)2

25

=1   即：x2-3x-8=0   ∴x1=

3- 41

2

，x2=

3+ 41

2

，
∴線段AB的長度為|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+ 16 25 )(x1-x2)2

 
=

41•41 25

=

41

5

．

點(diǎn)評：此題重點(diǎn)考查了利用相關(guān)點(diǎn)法求動點(diǎn)的軌跡方程，還考查了聯(lián)立直線方程與曲線方程進(jìn)行整體代入，還有兩點(diǎn)間的距離公式．