【題目】如圖,四棱錐中,底面是菱形,是的中點,點在側棱上.
(1)求證:平面;
(2)若是的中點,求證:平面;
(3)若,試求的值.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3).
【解析】
試題分析:(1)由線面垂直判定定理,要證線面垂直,需證垂直平面內(nèi)兩條相交直線,由,是的中點,易得垂直于,再由底面是菱形,得三角形為正三角形,所以垂直于,(2)由線面平行判定定理,要證線面平行,需證平行于平面內(nèi)一條直線,根據(jù)是的中點,聯(lián)想到取AC中點O所以OQ為△PAC中位線.所以OQ // PA注意在寫定理條件時,不能省,要全面.例如,線面垂直判定定理中有五個條件,線線垂直兩個,相交一個,線在面內(nèi)兩個;線面平行判定定理中有三個條件,平行一個,線在面內(nèi)一個,線在面外一個,(3)研究體積問題關鍵在于確定高,由于兩個底面共面,所以求的值就轉化為求對應高的長度比.
試題解析:(1)因為E是AD的中點,PA=PD,所以AD⊥PE.
因為底面ABCD是菱形,∠BAD=,所以AB=BD,又因為E是AD的中點,所以 AD⊥BE.
因為PE∩BE=E,所以AD⊥平面PBE. 4分
(2)連接AC交BD于點O,連結OQ.因為O是AC中點,
Q是PC的中點,所以OQ為△PAC中位線.所以OQ//PA. 7分
因為PA平面BDQ,OQ平面BDQ.所以PA//平面BDQ. 9分
(3)設四棱錐P-BCDE,Q-ABCD的分別為,,所以VP-BCDE=SBCDE,VQ-ABCD=SABCD. 10分
因為VP-BCDE=2VQ-ABCD,且底面積SBCDE=SABCD. 12分
所以,因為,所以. 14分
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知點,直線:,為平面上的動點,過點作直線的垂線,垂足為,且滿足.
(1)求動點的軌跡的方程;
(2)過點作直線與軌跡交于,兩點,為直線上一點,且滿足,若的面積為,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線: 的左、右焦點分別為, 為坐標原點, 是雙曲線上在第一象限內(nèi)的點,直線分別交雙曲線左、右支于另一點, ,且,則雙曲線的離心率為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知圓和定點,其中點是該圓的圓心,是圓上任意一點,線段的垂直平分線交于點,設動點的軌跡為.
(1)求動點的軌跡方程;
(2)設曲線與軸交于兩點,點是曲線上異于的任意一點,記直線,的斜率分別為,.證明:是定值;
(3)設點是曲線上另一個異于的點,且直線與的斜率滿足,試探究:直線是否經(jīng)過定點?如果是,求出該定點,如果不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)滿足,且方程有兩個相等的實數(shù)根
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)若是上的奇函數(shù),且時,,求的解析式;
(3)若不等式對一切實數(shù),恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某中學一位高三班主任對本班50名學生學習積極性和對待班級工作的態(tài)度進行調查,得到的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示:
積極參加班級工作 | 不積極參加班級工作 | 合計 | |
學習積極性高 | 18 | 7 | 25 |
學習積極性不高 | 6 | 19 | 25 |
合計 | 24 | 26 | 50 |
(1)如果隨機調查這個班的一名學生,那么抽到不積極參加班級工作且學習積極性不高的學生的概率是多少?
(2)若不積極參加班級工作且學習積極性高的7名學生中有兩名男生,現(xiàn)從中抽取兩名學生參加某項活動,問兩名學生中恰有1名男生的概率是多少?
(3)是否有把握認為學生的學習積極性與對待班級工作的態(tài)度是否有關系?請說明理由.
附:參考數(shù)據(jù):
,其中
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,直三棱柱中,,,,為的中點,點為線段上的一點.
(1)若,求證:;
(2)若,異面直線與所成的角為,求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知圓: 與定點, 為圓上的動點,點在線段上,且滿足.
(Ⅰ)求點的軌跡的方程;
(Ⅱ)設曲線與軸正半軸交點為,不經(jīng)過點的直線與曲線相交于不同兩點, ,若.證明:直線過定點.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】函數(shù)的定義域為().
(1)當時,求函數(shù)的值域;
(2)若函數(shù)在定義域上是減函數(shù),求的取值范圍;
(3)求函數(shù)在定義域上的最大值及最小值,并求出函數(shù)取最值時的值.
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