Question

f（x）=|x-a|-lnx（a＞0）．
（1）若a=1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間及f（x）的最小值；
（2）若a＞0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）證明：

ln22

22

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

＜

(n-1)(2n+1)

2(n+1)

，n∈N^*，且n≥2．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,數(shù)列的求和

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）通過(guò)a=1，化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）=|x-1-lnx|，去掉絕對(duì)值求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷單調(diào)性，然后求出最值．
（2）通過(guò)a≥1，0＜a＜1，分別去掉絕對(duì)值，求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)性即可．
（3）由（1）可知，當(dāng)a=1，x＞1時(shí)，有x-1-lnx＞0，即

lnx

x

＜1-

1

x

，得到

lnn2

n2

＜1-

1

n2

，通過(guò)放縮法

1

n2

＜

1

n×(n+1)

，利用數(shù)列求和，推出結(jié)果．

解答： 解：（1）a=1，f（x）=|x-1|-lnx，
當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)=x-1-lnx，f′(x)=1-

1

x

≥0．∴f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是遞增的．
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f(x)=1-x-lnx，f′(x)=-1-

1

x

＜0．∴f（x）在區(qū)間（0，1）上是遞減的
故a=1時(shí)，f（x）的遞增區(qū)間為[1，+∞），遞減區(qū)間為（0，1），f（x）_min=f（1）=0．
（2）①若a≥1，
當(dāng)x≥a時(shí)，f(x)=x-a-lnx，f′(x)=1-

1

x

≥0．
∴f（x）在區(qū)間[a，+∞）上是遞增的．
當(dāng)0＜x＜a時(shí)，f(x)=a-x-lnx，f′(x)=-1-

1

x

＜0．
∴f（x）在區(qū)間（0，a）上是遞減的
②若0＜a＜1，
當(dāng)x≥a時(shí)，f(x)=x-a-lnx，f′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

，
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)a＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，
則f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是遞增的，在區(qū)間[a，1）上是遞減的；
當(dāng)0＜x＜a時(shí)，f(x)=a-x-lnx，f′(x)=-1-

1

x

＜0．
∴f（x）在區(qū)間（0，a）上是遞減的，而f（x）在x=a處有意義，
則f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是遞增的，在區(qū)間（0，1）上是遞減的．
綜上，當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）的遞增區(qū)間為[a，+∞），遞減區(qū)間為（0，a）；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）的遞增區(qū)間為[1，+∞），遞減區(qū)間為（0，1）；
證明：（3）由（1）可知，當(dāng)a=1，x＞1時(shí)，有x-1-lnx＞0，即

lnx

x

＜1-

1

x

，
∴

ln22

22

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

＜1-

1

22

+1-

1

32

+…+1-

1

n2

=n-1-(

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

)＜n-1-[

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n×(n+1)

]
=n-1-(

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

)
=n-1-(

1

2

-

1

n+1

)=

(n-1)(2n+1)

2(n+1)

故

ln22

22

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

＜

(n-1)(2n+1)

2(n+1)

，n∈N^*且n≥2

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，單調(diào)區(qū)間的求法，考查放縮法的應(yīng)用以及數(shù)列的求和，同時(shí)考查分類(lèi)討論以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．