Question

已知直線l：4x+3y-8=0（a∈R）過圓C：x²+y²-ax=0的圓心交圓C于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（I）求圓C的方程；
（II） 求圓C在點(diǎn)P（1，）處的切線方程；
（III）求△OAB的面積．

Answer 1

解：（I）∵圓C：x²+y²-ax=0的圓心為（，0）…（1分）
直線l：4x+3y-8=0過圓C的圓心，
∴4×+3×0-8=0，
∴a=4…（3分）
∴圓C的方程為：x²+y²-4x=0…（4分）
（II）∵點(diǎn)P（1，）在x²+y²-4x=0上，且圓心為（2，0）…（5分）
∴設(shè)過點(diǎn)P（1，）的切線l₁的斜率為k，過P、C兩點(diǎn)的
直線的斜率為k_PC，則 …（6分）
k_PC=…（7分）
∵PC⊥l₁
∴k_PC•k=-1，故k=…（8分）
∴切線l₁的方程為y-=（x-1），即x-y+2=0…（9分）
（III）∵圓C：x²+y²-4x=0的半徑為2，…（10分）
∴|BC|=2r=4…（11分）
點(diǎn)O（0，0）到直線l：4x+3y-8=0的距離為d==…（12分）
∴S_△OAB=|BC|•d=×4×=…（13分）
分析：（I）圓C：x²+y²-ax=0的圓心為（，0），將圓心坐標(biāo)代入4x+3y-8=0即可求得a，從而可得圓C的方程；
（II）將點(diǎn)P（1，）的坐標(biāo)代入x²+y²-4x=0成立，即點(diǎn)P（1，）在x²+y²-4x=0上，設(shè)過點(diǎn)P（1，）的切線l₁的斜率為k，利用k_PC•k=-1可求得k，從而可得切線l₁的方程；
（III）由題意可知，|AB|為圓x²+y²-4x=0的直徑，其長度為4，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求得原點(diǎn)（0，0）到直線l：4x+3y-8=0的距離，從而可求△OAB的面積．
點(diǎn)評：本題考查圓的一般方程，考查求圓的切線方程及點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，突出轉(zhuǎn)化與方程思想的運(yùn)用，屬于中檔題．