【題目】如圖,在多面體ABCDEF中,四邊形ABCD為平行四邊形,平面ADE⊥平面CDEF,∠ADE=60°,DE∥CF,CD⊥DE,AD=2,DE=DC=3,CF=4,點(diǎn)G是棱CF上的動(dòng)點(diǎn).
(Ⅰ)當(dāng)CG=3時(shí),求證EG∥平面ABF;
(Ⅱ)求直線BE與平面ABCD所成角的正弦值;
(Ⅲ)若二面角G﹣AE﹣D所成角的余弦值為,求線段CG的長.
【答案】(Ⅰ)證明見詳解;(Ⅱ);(Ⅲ)
【解析】
(1)通過證明直線AB∥EG,從而由線線平行推證線面平行;
(2)過A作DE垂線AO,以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面的法向量以及直線的方向向量,從而求解線面角的正弦值;
(3)由(2)中所建的直角坐標(biāo)系,根據(jù)二面角G﹣AE﹣D所成角的余弦值,求得G點(diǎn)的坐標(biāo),即可求得CG的長度.
(Ⅰ)證明:由已知得CG∥DE且CG=DE,
故四邊形CDEG為平行四邊形,
∴CD∥EG,
∵四邊形ABCD為平行四邊形,
∴CD∥AB,∴AB∥EG,
又EG平面ABF,AB平面ABF,
∴EG∥平面ABF.
(Ⅱ)過點(diǎn)A作AO⊥DE交DE于點(diǎn)O,過點(diǎn)O作OK∥CD交CF于點(diǎn)K
由(1)知平面ADE⊥平面CDEF,平面ADE∩平面CDEF=DE,AO平面ADE,
∴AO⊥平面CDEF,∵CD⊥DE,∴OK⊥DE,以O為原點(diǎn)建立如圖的空間直角坐標(biāo)系,
則D(0,﹣1,0),E(0,2,0),C(3,﹣1,0),
F(3,3,0),,D(0,﹣1,0),
∴
設(shè)平面ABCD的法向量為,
即,令z=﹣1,則,
,
∴直線BE與平面ABCD所成角的正弦值為,
(Ⅲ)由題意得,G(3,4λ﹣1,0).
∴,
設(shè)平面AEG的法向量為,即,
令y=3,則,x=3﹣4λ,
∴,
容易得平面AED的法向量為,
故可得,
解得,
∴,∴|CG|=λ|CF|=4λ,
∵|CG|≤4,
∴.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】經(jīng)過多年的努力,炎陵黃桃在國內(nèi)乃至國際上逐漸打開了銷路,成為炎陵部分農(nóng)民脫貧致富的好產(chǎn)品.為了更好地銷售,現(xiàn)從某村的黃桃樹上隨機(jī)摘下了100個(gè)黃桃進(jìn)行測重,其質(zhì)量分布在區(qū)間內(nèi)(單位:克),統(tǒng)計(jì)質(zhì)量的數(shù)據(jù)作出其頻率分布直方圖如圖所示:
(1)按分層抽樣的方法從質(zhì)量落在,的黃桃中隨機(jī)抽取5個(gè),再從這5個(gè)黃桃中隨機(jī)抽2個(gè),求這2個(gè)黃桃質(zhì)量至少有一個(gè)不小于400克的概率;
(2)以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)值代表這組數(shù)據(jù)的平均水平,以頻率代表概率,已知該村的黃桃樹上大約還有100000個(gè)黃桃待出售,某電商提出兩種收購方案:
A.所有黃桃均以20元/千克收購;
B.低于350克的黃桃以5元/個(gè)收購,高于或等于350克的以9元/個(gè)收購.
請(qǐng)你通過計(jì)算為該村選擇收益最好的方案.
(參考數(shù)據(jù):)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】
如圖,長方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,點(diǎn)E在棱AA1上,BE⊥EC1.
(1)證明:BE⊥平面EB1C1;
(2)若AE=A1E,求二面角B–EC–C1的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱臺(tái)中,,G,H分別為,上的點(diǎn),平面平面,,.
(1)證明:平面平面;
(2)若,,求二面角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C: (a>b>0),四點(diǎn)P1(1,1),P2(0,1),P3(–1, ),P4(1, )中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.
(1)求C的方程;
(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1,證明:l過定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù).
(1)若,,討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)情況;
(2)若,對(duì)于,存在,使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為,,,點(diǎn)為的中點(diǎn),已知,,.
(1)求角的大小和的長;
(2)設(shè)的角平分線交于,求的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合,且橢圓的離心率為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)直線交橢圓于、兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為,直線是線段的垂直平分線,求證:直線過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的方程為,其焦點(diǎn)為,為過焦點(diǎn)的拋物線的弦,過分別作拋物線的切線,,設(shè),相交于點(diǎn).
(1)求的值;
(2)如果圓的方程為,且點(diǎn)在圓內(nèi)部,設(shè)直線與相交于,兩點(diǎn),求的最小值.
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