Question

對(duì)于函數(shù),若存在實(shí)數(shù)對(duì)(),使得等式對(duì)定義域中的每一個(gè)都成立,則稱函數(shù)是“()型函數(shù)”.

(Ⅰ)判斷函數(shù)是否為 “()型函數(shù)”，并說(shuō)明理由；

(Ⅱ)若函數(shù)是“()型函數(shù)”,求出滿足條件的一組實(shí)數(shù)對(duì)；，

(Ⅲ)已知函數(shù)是“()型函數(shù)”,對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)對(duì)為.當(dāng)時(shí),,若當(dāng)時(shí),都有,試求的取值范圍.

 

Answer 1

（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）（答案還有其他可能）；（Ⅲ）

【解析】

試題分析：(Ⅰ) 由給出的定義可知 展開(kāi)后的方程中如果不含x說(shuō)明對(duì)任意x都成立，則函數(shù)是“()型函數(shù)” ，如果展開(kāi)后的方程含x,則根據(jù)方程只能求出某個(gè)或某些x滿足要求而不是每一個(gè)x都符合，則函數(shù)不是“()型函數(shù)(Ⅱ)根據(jù)定義列出方程 ，滿足方程的實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)有無(wú)數(shù)對(duì)，只取其中一對(duì)就可以(Ⅲ)難度系數(shù)較大，應(yīng)先根據(jù)題意分析出當(dāng)時(shí), ，此時(shí) 。根據(jù)已知時(shí),,其對(duì)稱軸方程為。屬動(dòng)軸定區(qū)間問(wèn)題需分類討論，在每類中得出時(shí)的值域即的值域，從而得出時(shí)的值域，把兩個(gè)值域取并集即為的的值域，由可知的值域是的子集，列出關(guān)于m的不等式即可求解。

試題解析：(1)不是“()型函數(shù)”，因?yàn)椴淮嬖趯?shí)數(shù)對(duì)使得，

即對(duì)定義域中的每一個(gè)都成立；

(2)由,得,所以存在實(shí)數(shù)對(duì),

如,使得對(duì)任意的都成立；

(3)由題意得,,所以當(dāng)時(shí), ,其中,而時(shí),,其對(duì)稱軸方程為.

當(dāng),即時(shí),在上的值域?yàn)?/span>,即,則在上的值域?yàn)?/span>,由題意得,從而；

當(dāng),即時(shí),的值域?yàn)?/span>,即,則在上的值域?yàn)?/span>,則由題意,得且,解得；

當(dāng),即時(shí),的值域?yàn)?/span>,即,則在上的值域?yàn)?/span>,即,則,解得.

綜上所述,所求的取值范圍是.

考點(diǎn)：對(duì)新概念的理解能力，以及動(dòng)軸定區(qū)間求二次函數(shù)的值域問(wèn)題。