Question

【題目】已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率等于，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，

（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)作直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若為定值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）要求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，要有兩個(gè)獨(dú)立的條件，本題中拋物線的焦點(diǎn)是，這樣有，另外由離心率，就可求得，得標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）本題是解析幾何中定值問(wèn)題，設(shè)出直線方程為，同時(shí)設(shè)交點(diǎn)為，由直線方程與橢圓方程聯(lián)立后消元后可得，利用已知求得（用表示），然后計(jì)算可證得結(jié)論．

試題解析：（I）設(shè)橢圓C的方程為，

因?yàn)?/span>拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 所以由題意知b = 1．

又有

∴橢圓C的方程為

（II）方法一：設(shè)A、B、M點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

易知右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）．

將A點(diǎn)坐標(biāo)代入到橢圓方程中，得

去分母整理得

方法二：設(shè)A、B、M點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

又易知F點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）．

顯然直線l存在的斜率，設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程是

將直線l的方程代入到橢圓C的方程中，消去y并整理得

又