已知向量
m
=(2cos
x
2
,1)
,
n
=(sin
x
2
,1)
(x∈R),設(shè)函數(shù)f(x)=
m
n
-1

(1)求函數(shù)f(x)的值域;
(2)已知銳角△ABC的三個內(nèi)角分別為A,B,C,若f(A)=
5
13
,f(B)=
3
5
,求f(C)的值.
分析:(1)根據(jù)所給的兩個向量的坐標,寫出函數(shù)f(x)的解析式,逆用正弦的二倍角公式,把函數(shù)變形為y=sinx的形式,根據(jù)所給的變量的取值范圍,寫出函數(shù)的值域.
(2)根據(jù)f(A)=
5
13
f(B)=
3
5
,寫出三角形的兩個內(nèi)角的三角函數(shù)值,根據(jù)三角形是銳角三角形和同角的三角函數(shù)關(guān)系,根據(jù)兩角和的正弦公式,得到結(jié)果.
解答:解:(1)∵向量
m
=(2cos
x
2
,1)
,
n
=(sin
x
2
,1)
(x∈R),
f(x)=
m
n
-1=(2cos
x
2
,1)•(sin
x
2
,1)-1

=2cos
x
2
sin
x
2
+1-1=sinx

∵x∈R,
∴函數(shù)f(x)的值域為[-1,1].
(2)∵f(A)=
5
13
,f(B)=
3
5
,∴sinA=
5
13
,sinB=
3
5

∵A,B都是銳角,
cosA=
1-sin2A
=
12
13
,cosB=
1-sin2B
=
4
5

∴f(A+B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
=
5
13
×
4
5
+
12
13
×
3
5
=
56
65
.

∴f(A+B)的值為
56
65
點評:本題表面上是對向量數(shù)量積的考查,根據(jù)兩個向量的坐標,用數(shù)量積列出式子,但是這步工作做完以后,題目的重心轉(zhuǎn)移到角的變換問題.注意解題過程中角的范圍.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知向量
m
=(2cosx,-
3
sin2x)
,
n
=(cosx,1),設(shè)函數(shù)f(x)=
m
n
,x∈R.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅱ)若方程f(x)-k=0在區(qū)間[0,
π
2
]
上有實數(shù)根,求k的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知向量
m
=(2cosx,,2sinx)
,
n
=(cosx,,
3
cosx)
,函數(shù)f(x)=a
m
n
+b-a
(a、b為常數(shù)且x∈R).
(Ⅰ) 當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(Ⅱ) 是否存在非零整數(shù)a、b,使得當x∈[0,
π
2
]
時,f(x)的值域為[2,8].若存在,求出a、b的值;若不存在,說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•威海一模)已知向量
m
=(2cosx,
3
cosx-sinx),
n
=(sin(x+
π
6
),sinx)
,且滿足f(x)=
m
n

(I)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(II)設(shè)△ABC的內(nèi)角A滿足f(A)=2,且
AB
AC
=
3
,求邊BC的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知向量
m
=(2cosx,1)
,向量
n
=(cosx,
3
sin2x)
,函數(shù)f(x)=
m
n
+
2010
1+cot2x
+
2010
1+tan2x

(1)化簡f(x)的解析式,并求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,已知f(A)=2012,b=1,△ABC的面積為
3
2
,求
1005(a+c)
sinA+sinC
的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知向量
m
=(2cosx,,2sinx)
,
n
=(cosx,,
3
cosx)
,函數(shù)f(x)=a
m
n
+b-a
(a、b為常數(shù)且x∈R).
(Ⅰ) 當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(Ⅱ) 是否存在非零整數(shù)a、b,使得當x∈[0,
π
2
]
時,f(x)的值域為[2,8].若存在,求出a、b的值;若不存在,說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案