【題目】已知橢圓的離心率為，是橢圓的左、右焦點，過作直線交橢圓于兩點，若的周長為8.

（1）求橢圓方程；

（2）若直線的斜率不為0，且它的中垂線與軸交于點，求點的縱坐標的范圍；

（3）是否在軸上存在點，使得軸平分？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

【答案】(1) ；（2）的縱坐標的范圍為;(3) .

【解析】

試題(1)由橢圓定義得的周長為，再結(jié)合離心率，列方程組解得，，，(2)先以直線的斜率表示它的中垂線方程（結(jié)合韋達定理求中點坐標），解出與軸交點，即為點的縱坐標： ，再根據(jù)基本不等式求取值范圍，注意討論斜率不存在的情形，(3)軸平分，等價于，再利用坐標表示可得兩根和與積的關(guān)系，最后根據(jù)韋達定理代入化簡可得的值.

試題解析：（1）依題意得，，解得，，，

所以橢圓方程為.

（2）當不存在時，為坐標原點，，

當存在時，由可得，

設(shè)，，

則，，（*）

設(shè)弦有中點為，則，，

則，

令，有 ，

綜上所述，的縱坐標的范圍為.

（3）存在滿足條件，

假設(shè)存在使得軸平分，則，

即 ，

有，

將（2）中（*）式代入有，

解得.

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知平面直角坐標系中，過點的直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為與曲線C相交于不同的兩點M，N．

(1)求曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程；

(2)若，求實數(shù)a的值．

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【題目】已知橢圓：經(jīng)過點，離心率為，點為橢圓的右頂點，直線與橢圓相交于不同于點的兩個點.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）當時，求面積的最大值；

（Ⅲ）若直線的斜率為2，求證：的外接圓恒過一個異于點的定點.

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【題目】已知橢圓的一個頂點為拋物線的焦點，點在橢圓上且，關(guān)于原點的對稱點為，過作的垂線交橢圓于另一點，連交軸于.

（1）求橢圓的方程；

（2）求證:軸；

（3）記的面積為的面積為，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某公司有一批專業(yè)技術(shù)人員，對他們進行年齡狀況和接受教育程度（學(xué)歷）的調(diào)查，其結(jié)果（人數(shù)分布）如表：

（1）用分層抽樣的方法在歲年齡段的專業(yè)技術(shù)人員中抽取一個容量為的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取人，求至少有人的學(xué)歷為研究生的概率；

（2）在這個公司的專業(yè)技術(shù)人員中按年齡狀況用分層抽樣的方法抽取個人，其中歲以下人，歲以上人，再從這個人中隨機抽取出人，此人的年齡為歲以上的概率為，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知兩點，，動點與兩點連線的斜率滿足.

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）是曲線與軸正半軸的交點，曲線上是否存在兩點，使得是以為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，請說明有幾個；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知兩點，，動點與兩點連線的斜率滿足.

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）是曲線與軸正半軸的交點，曲線上是否存在兩點，使得是以為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，請說明有幾個；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知為等腰直角三角形，，將沿底邊上的高線折起到位置，使，如圖所示，分別取的中點.

（1）求二面角的余弦值；

（2）判斷在線段上是否存在一點，使平面？若存在，求出點的位置，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某廠家擬在新年舉行大型的促銷活動，經(jīng)測算某產(chǎn)品當促銷費用為萬元時，銷售量萬件滿足（其中，為正常數(shù)）.現(xiàn)假定生產(chǎn)量與銷售量相等，已知生產(chǎn)該產(chǎn)品萬件還需投入成本萬元（不含促銷費用），產(chǎn)品的銷售價格定為萬元/萬件.

（1）將該產(chǎn)品的利潤萬元表示為促銷費用萬元的函數(shù)；

（2）促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大.

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