Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，Q是棱PA上的動點(diǎn)．
（Ⅰ）若Q是PA的中點(diǎn)，求證：PC∥平面BDQ；
（Ⅱ）若PB=PD，求證：BD⊥CQ；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若PA=PC，PB=3，∠ABC=60°，求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

（Ⅰ）證明：連接AC，交BD于O．
因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，所以O(shè)為AC中點(diǎn)．
因?yàn)镼是PA的中點(diǎn)，所以O(shè)Q∥PC，
因?yàn)镺Q?平面BDQ，PC?平面BDQ，
所以PC∥平面BDQ．…（5分）
（Ⅱ）證明：因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，
所以AC⊥BD，O為BD中點(diǎn)．
因?yàn)镻B=PD，所以PO⊥BD．
因?yàn)镻O∩BD=O，所以BD⊥平面PAC．
因?yàn)镃Q?平面PAC，所以BD⊥CQ．…（10分）
（Ⅲ）因?yàn)镻A=PC，所以△PAC為等腰三角形．
因?yàn)镺為AC中點(diǎn)，所以PO⊥AC．
由（Ⅱ）知PO⊥BD，且AC∩BD=O，所以PO⊥平面ABCD，即PO為四棱錐P-ABCD的高．
因?yàn)樗倪呅问沁呴L為2的菱形，且∠ABC=60°，所以BO=

3

，
所以PO=

6

．
所以VP-ABCD=

1

3

×2

3

×

6

=2

2

，即VP-ABCD=2

2

．…（14分）