Question

對(duì)于函數(shù)f(x)=

x-1

x+1

，設(shè)f₂（x）=f[f（x）]，f₃（x）=f[f₂（x）]，…f_n+1（x）=f[f_n（x）]，（n∈N^*，且n≥2），令集合M={x|f2012(x)=

1

x

，x∈R}，則集合M為（　�。�

A．空集

B．單元素集

C．二元素集

D．無限集

Answer 1

分析：由函數(shù)f(x)=

x-1

x+1

，f₂（x）=f[f（x）]，f₃（x）=f[f₂（x）]，…f_n+1（x）=f[f_n（x）]，（n∈N^*，且n≥2），能夠推導(dǎo)出f₂（x）=-

1

x

，f₃（x）=

1+x

1-x

，f₄（x）=x，f₅（x）=

x-1

x+1

．故f₂₀₁₂（x）=x，由此能求出集合M．

解答：解：∵函數(shù)f(x)=

x-1

x+1

，f₂（x）=f[f（x）]，
f₃（x）=f[f₂（x）]，…f_n+1（x）=f[f_n（x）]，（n∈N^*，且n≥2），
∴f₂（x）=

x-1 x+1 -1

x-1 x+1 +1

=-

1

x

，
f₃（x）=

- 1 x -1

- 1 x +1

=

1+x

1-x

，
f₄（x）=

1+x 1-x -1

1+x 1-x +1

=x，
f₅（x）=

x-1

x+1

．
∵2012=4×503，
∴f₂₀₁₂（x）=x，
∴M={x|f2012(x)=

1

x

，x∈R}={x|x=

1

x

}={-1，1}．
又x不能為0，1，-1，所以是空集．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．