Question

設(shè)（a，b為實(shí)常數(shù)）．
（1）當(dāng)a=b=1時(shí)，證明：f（x）不是奇函數(shù)；
（2）設(shè)f（x）是實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，求a與b的值；
（3）（理） 當(dāng)f（x）是實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)時(shí)，證明對(duì)任何實(shí)數(shù)x、c都有f（x）＜c²-3c+3成立．
（4）（文）求（2）中函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

解：（1），，，
所以f（-1）≠-f（1），f（x）不是奇函數(shù)；
（2）f（x）是奇函數(shù)時(shí)，f（-x）=-f（x），即對(duì)任意實(shí)數(shù)x成立．
化簡(jiǎn)整理得（2a-b）•2^2x+（2ab-4）•2^x+（2a-b）=0，這是關(guān)于x的恒等式，
所以，所以（舍）或．
（3）（理），
因?yàn)?^x＞0，所以2^x+1＞1，，從而；
而對(duì)任何實(shí)數(shù)c成立；
所以對(duì)任何實(shí)數(shù)x、c都有f（x）＜c²-3c+3成立．
（4）（文） ，因?yàn)?^x＞0，
所以2^x+1＞1，，
從而；所以函數(shù)f（x）的值域?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/5944.png' />．
分析：（1）證明不是奇函數(shù)，可用特殊值法；如證明：f（-1）≠-f（1），f（x）不是奇函數(shù)；
（2）利用奇函數(shù)定義f（-x）=-f（x），再用待定系數(shù)法求解；
（3）即證明c²-3c+3大于f（x）的最大值，所以先求f（x）的最大值．
（4）先將原函數(shù)式化成：，將2^x看成整體，利用其范圍結(jié)合不等式的性質(zhì)即可求得函數(shù)f（x）的值域．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查轉(zhuǎn)化思想；屬于基礎(chǔ)題．