Question

（06年北京卷理）（14分）

在數(shù)列中，若是正整數(shù)，且，則稱為“絕對(duì)差數(shù)列”.

（Ⅰ）舉出一個(gè)前五項(xiàng)不為零的“絕對(duì)差數(shù)列”（只要求寫(xiě)出前十項(xiàng)）；

（Ⅱ）若“絕對(duì)差數(shù)列”中，，數(shù)列滿足，，分別判斷當(dāng)時(shí)，與的極限是否存在，如果存在，求出其極限值；

（Ⅲ）證明：任何“絕對(duì)差數(shù)列”中總含有無(wú)窮多個(gè)為零的項(xiàng).

Answer 1

解析：（Ⅰ）,（答案不惟一）

（Ⅱ）因?yàn)樵诮^對(duì)差數(shù)列中,.所以自第 20 項(xiàng)開(kāi)始，該數(shù)列是,,

即自第 20 項(xiàng)開(kāi)始。每三個(gè)相鄰的項(xiàng)周期地取值 3，0，3. 所以當(dāng)時(shí)，的極限

不存在.

當(dāng)時(shí), ,所以
（Ⅲ）證明：根據(jù)定義，數(shù)列必在有限項(xiàng)后出現(xiàn)零項(xiàng).證明如下
 假設(shè)中沒(méi)有零項(xiàng)，由于,所以對(duì)于任意的n，都有,從而
 當(dāng)時(shí), ;
 當(dāng) 時(shí),
 即的值要么比至少小1，要么比至少小1.
令
則
由于是確定的正整數(shù)，這樣減少下去，必然存在某項(xiàng) ，這與()
矛盾. 從而必有零項(xiàng).
若第一次出現(xiàn)的零項(xiàng)為第項(xiàng)，記，則自第項(xiàng)開(kāi)始，每三個(gè)相鄰的項(xiàng)周期地取值 0，,  , 即

所以絕對(duì)差數(shù)列中有無(wú)窮多個(gè)為零的項(xiàng).