Question

已知f（x）=2x²+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5）．
（1）．求f（x）的解析式；
（2）．已知g（x）=f（x）+mx-6，求當(dāng)m為何值時，g（x）為偶函數(shù)．
（3）．若g（x）=f（x）+mx-6在[1，2]上最小值為h（m），試討論h（m）-k=0的零點個數(shù)．（k為常數(shù)）．

Answer 1

分析：（1）由題意可知f（x）=2x²+bx+c=0的解為0，5，根據(jù)方程的根與系數(shù)關(guān)系可求b，c，進(jìn)而可求f（x）
（2）由g（x）為偶函數(shù)，則對稱軸為x=0，可求m
（3）由g（x）=f（x）+mx-6=2x²+（m-10）x-6，對稱軸是x=

10-m

4

，要求最小值，需要討論對稱軸與區(qū)間[1，2]的位置關(guān)系：分①當(dāng)

10-m

4

＜1，②當(dāng)1≤

10-m

4

≤2，③當(dāng)

10-m

4

＞2，分別求解，而h（m）-k=0根的個數(shù)等價于函數(shù)y=h（m）與y=k兩個圖象公共點的個數(shù)，結(jié)合函數(shù)的圖象可求

解答：解：（1）由不等式f（x）＜0的解集為（0，5）可知，f（x）=2x²+bx+c=0的解為0，5
根據(jù)方程的根與系數(shù)關(guān)系可得c=0，5=-

b

2

即b=-10，c=0
∴f（x）=2x²-10x．
（2）∵g（x）=f（x）+mx-6=2x²+（m-10）x-6，對稱軸是x=

m-10

4

．
若使得g（x）為偶函數(shù)，則對稱軸為x=0
∴m=10
（3）∵g（x）=f（x）+mx-6=2x²+（m-10）x-6，對稱軸是x=

10-m

4

①當(dāng)

10-m

4

＜1，即m＞6時，y=g（x）在x∈[1，2]上單調(diào)增，故h（m）=g（1）=m-14；
②當(dāng)1≤

10-m

4

≤2，即2≤m≤6時，y=g（x）在x∈[1，2]先減后增，于是h(m)=g(

m-10

4

)=-

m2

8

+

5

2

m-

37

2

③當(dāng)

10-m

4

＞2，即m＜2時，y=g（x）在x∈[1，2]上單調(diào)減，故h（m）=g（2）=2m-18．
綜上所述，h(m)=

m-14(m＞6) - m2 8 + 5 2 m- 37 2 (2≤m≤6) 2m-18(m＜2)

（3）由題知，h（m）-k=0根的個數(shù)等價于函數(shù)y=h（m）與y=k兩個圖象公共點的個數(shù)，
由y=h（m）的解析式，可知y=h（m）在R上單調(diào)遞增，
結(jié)合圖象知，不論k為何值，方程h（m）-k=0總在在唯一的實數(shù)根．

點評：本題主要考查了利用二次方程與二次不等式的關(guān)系求解函數(shù)解析式及二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求解，方程的根與函數(shù)的零點的相互轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用