Question

2012年3月2日，江蘇衛(wèi)視推出全新益智答題類(lèi)節(jié)目《一站到底》，甲、乙兩人報(bào)名參加《一站到底》面試的初試選拔，已知在備選的10道試題中，甲能答對(duì)其中的6題，乙能答對(duì)其中的8題．規(guī)定每次搶答都從備選題中隨機(jī)抽出3題進(jìn)行測(cè)試，至少答對(duì)2題初試才能通過(guò)．
（Ⅰ）求甲答對(duì)試題數(shù)ξ的概率分布列及數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）求甲、乙兩人至少有一人初試通過(guò)的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意，ξ的可能取值為0、1、2、3，由排列組合的知識(shí)分別可求其概率，進(jìn)而可得其分布列，由期望的定義可得數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）設(shè)甲、乙兩人考試合格的事件分別為A、B，可求其概率，進(jìn)而可得甲乙兩人均通不過(guò)的概率為：P（

.

A

.

B

）=P（

.

A

）P（

.

B

），由獨(dú)立事件的概率可得其值，再由對(duì)立事件可知所求概率為P=1-P（

.

A

.

B

）

解答：解：（Ⅰ）由題意，甲答對(duì)試題數(shù)ξ的可能取值為0、1、2、3，
則P（ξ=0）=

C 3 4

C 3 10

=

1

30

，P（ξ=1）=

C 1 6 C 2 4

C 3 10

=

3

10

，P（ξ=2）=

C 2 6 C 1 4

C 3 10

=

1

2

P（ξ=3）=

C 3 6

C 3 10

=

1

6

，故其分布列如下：

ξ	0	1	2	3
P	1 30	3 10	1 2	1 6

…（6分）
故甲答對(duì)試題數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=0×

1

30

+1×

3

10

+2×

1

2

+3×

1

6

=

9

5

．…（8分）
（Ⅱ）設(shè)甲、乙兩人考試合格的事件分別為A、B，
則P（A）=

C 2 6 C 1 4 + C 3 6

C 3 10

=

60+20

120

=

2

3

，P（B）=

C 2 8 C 1 2 + C 3 8

C 3 10

=

56+56

120

=

14

15

，
因?yàn)槭录嗀、B獨(dú)立，所以甲乙兩人均通不過(guò)的概率為：P（

.

A

.

B

）=P（

.

A

）P（

.

B

）
=（1-

2

3

）（1-

14

15

）=

1

3

×

1

15

=

1

45

，
故甲、乙兩人至少有一人通過(guò)的概率為P=1-P（

.

A

.

B

）=1-

1

45

=

44

45

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量及其分布列，涉及數(shù)學(xué)期望的求解，屬中檔題．