已知函數(shù)f(x)=lg(ax－bx)(常數(shù)a>1>b>0)。

（1）求f(x)的定義域，并證明函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)；

（2）證明：在函數(shù)y=f(x)的圖象上不存在不同的兩點，使過此兩點的直線平行于x軸；

（3）當a、b滿足什么關系時，f(x)在[1，+∞）上恒取正值？

 

答案：
解析：

（1）由ax－bx>0，得ax>bx。

∵bx>0，∴()x>1。

又a>1>b>0，∴>1，從而x>0，即函數(shù)的定義域為（0，+∞）。設x1>x2>0，

∵a>1>b>0，∴ax1>ax2，bx1<bx2，從而ax1－bx1>ax2－bx2>0.∴lg(ax1－bx1)>lg(ax2－bx2)，

即f(x1)>f(x2)。

∴f(x)在（0，+∞）上為增函數(shù)。

（2）假若函數(shù)y=f(x)的圖象上存在不同的兩點A（x1，y1）、B（x2，y2），使直線AB平行于x軸，則必有y1=y2，且x1≠x2。不妨設0<x1<x2，則由f(x)在（0，+∞）上是增函數(shù)知f(x1)<f(x2)，即y1<y2，這與y1=y2相矛盾。

綜上知，函數(shù)y=f(x)的圖象上不存在不同的兩點，使過此兩點的直線平行于x軸。

（3）要使f(x)在[1，+∞）上恒取正值，即使不等式f(x)=lg(ax－bx)>0在x∈[1，+∞)上恒成立。

由（1）知，f(x)在[1，+∞）上是增函數(shù)，∴只需f(1)>0，即lg(a－b)>0，∴a－b>1，a>b+1時，f(x)在[1，+ ∞)恒取正值。

 


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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b
（1）若函數(shù)f（x）在P（0，f（0））的切線方程為y=5x+1，求實數(shù)a，b的值：
（2）當a＜3時，令g(x)=
f′(x)
x
，求y=g（x）在[l，2]上的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-alnx的圖象在點P（2，f（2））處的切線方程為l：y=x+b
（1）求出函數(shù)y=f（x）的表達式和切線l的方程；
（2）當x∈[
1
e
，e]時（其中e=2.71828…），不等式f（x）＜k恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=
12
x2+a（a為常數(shù)），直線l與函數(shù)f（x）、g（x）的圖象都相切，且l與函數(shù)f（x）的圖象的切點的橫坐標為1．
（1）求直線l的方程及a的值；
（2）當k＞0時，試討論方程f（1+x2）-g（x）=k的解的個數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
13
x3+x2+ax．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）設f（x）有兩個極值點x1，x2，若過兩點（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直線l與x軸的交點在曲線y=f（x）上，求a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x3-
32
ax2+b，a，b為實數(shù)，x∈R，a∈R．
（1）當1＜a＜2時，若f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值、最大值分別為-2、1，求a、b的值；
（2）在（1）的條件下，求經(jīng)過點P（2，1）且與曲線f（x）相切的直線l的方程；
（3）試討論函數(shù)F（x）=（f′（x）-2x2+4ax+a+1）•ex的極值點的個數(shù)．

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