Question

已知函數(shù).
（1）當(dāng)且時，證明：；
（2）若對，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
（3）當(dāng)時，證明：.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3）詳見解析.

試題分析：（1）將代入函數(shù)的解析式，構(gòu)造新函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為證明，只需利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性來證明該不等式；（2）解法一是利用參數(shù)分離法將不等式轉(zhuǎn)化為在上恒成立，構(gòu)造新函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為
來處理；解法二是構(gòu)造新函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為來處理，求出導(dǎo)數(shù)的根，對與區(qū)間的相對位置進行分類討論，以確定函數(shù)的單調(diào)性與最值，從而解決題中的問題；解法三是利用參數(shù)分離法將問題轉(zhuǎn)化為，從而將問題轉(zhuǎn)化為來處理，而將視為點與點連線的斜率，然后利用圖象確定斜率的最小值，從而求解相應(yīng)問題；（3）利用分析法將問題等價轉(zhuǎn)化為證明不等式，結(jié)合（1）中的結(jié)論
結(jié)合放縮法證明，最后利用累加法證明相關(guān)不等式證明.
試題解析：（1）證明：要證，即證，
令，則，
在單調(diào)遞增，，
，即成立；
（2）解法一：由且可得，
令，，
由（1）知，
，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，
；
解法二：令，則，
當(dāng)時，，函數(shù)在上是增函數(shù)，有，------6分
當(dāng)時，函數(shù)在上遞增，在上遞減，
對，恒成立，只需，即；
當(dāng)時，函數(shù)在上遞減，對，恒成立，只需，
而，不合題意，
綜上得對，恒成立，；
解法三：由且可得，

由于表示兩點、的連線斜率，
由圖象可知在單調(diào)遞減，
故當(dāng)，，
，即；
（3）當(dāng)時，，則，
要證，即證，
由（1）可知，又
，，
，

，
故.