Question

過(guò)拋物線(xiàn)y²=4x的焦點(diǎn)作一條直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于A，B兩點(diǎn)，它們到直線(xiàn)x=-2的距離之和等于5，則這樣的直線(xiàn)（　�。�

A．有且僅有一條

B．有且僅有兩條

C．有無(wú)窮多條

D．不存在

Answer 1

分析：先求出A，B到準(zhǔn)線(xiàn)的距離之和的最小值，進(jìn)而可得A，B到直線(xiàn)x=-2的距離之和的最小值，利用條件可得結(jié)論．

解答：解：拋物線(xiàn)y²=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-1，
設(shè)A，B的坐標(biāo)為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則A，B到直線(xiàn)x=-1的距離之和x₁+x₂+2
設(shè)直線(xiàn)方程為x=my+1，代入拋物線(xiàn)y²=4x，則y²=4（my+1），即y²-4my-4=0，
∴x₁+x₂=m（y₁+y₂）+2=4m²+2
∴x₁+x₂+2=4m²+4≥4
∴A，B到直線(xiàn)x=-2的距離之和x₁+x₂+2+2≥6＞5
∴過(guò)焦點(diǎn)使得到直線(xiàn)x=-2的距離之和等于5的直線(xiàn)不存在
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線(xiàn)的定義，考查過(guò)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．