Question

【題目】已知函數(shù)，則下列判斷中是真命題的有（ ）．

①，；②是偶函數(shù)；③對于任意一個非零有理數(shù)，，；④存在三個點，，，使得為等邊三角形．

A.①②③B.①②③④C.①③④D.②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

①根據函數(shù)的對應法則，可知無論x是有理數(shù)還是無理數(shù)，均有f（f（x））＝1；

②根據函數(shù)奇偶性的定義，可得f（x）是偶函數(shù)；

③根據函數(shù)的表達式，結合有理數(shù)和無理數(shù)的性質；

④取x1＝，x2＝0，x3＝，可得，，，三點恰好構成等邊三角形．

①∵當x為有理數(shù)時，f(x)＝1；當x為無理數(shù)時，f(x)＝0，

∴當x為有理數(shù)時，＝f(1)＝1；當x為無理數(shù)時，＝f(0)＝1，

即無論x是有理數(shù)還是無理數(shù)，均有＝1，故①正確；

②∵有理數(shù)的相反數(shù)還是有理數(shù)，無理數(shù)的相反數(shù)還是無理數(shù)，

∴對任意x∈R，都有，故②正確；

③若x是有理數(shù)，則x+T也是有理數(shù)； 若x是無理數(shù)，則x+T也是無理數(shù)，

∴根據函數(shù)的表達式，任取一個不為零的有理數(shù)T，對x∈R恒成立，故③正確；

④取x1＝，x2＝0，x3＝，可得，

∴，，，恰好△ABC為等邊三角形，故④正確．

即真命題的個數(shù)是4個，

故選：B．