Question

【題目】已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，數(shù)列中，，且.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，求的前項(xiàng)和；

（3）證明：對(duì)一切，

Answer 1

【答案】（1）或；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，構(gòu)造，變形為，再求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）由已知變形為，利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后再求數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求和；

（3）表示求數(shù)列的前項(xiàng)和，然后將通項(xiàng)放縮為時(shí)，，然后利用裂項(xiàng)相消法求和.

（1）時(shí)，可得，

時(shí)，，，兩式相減，

得 ，，

，

數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成以4為公差的等差數(shù)列，

當(dāng)，時(shí)，，

當(dāng)，時(shí)， ，

，.

（2） ,

，即 ，

整理為：，

，

，

，

…………………………,

，時(shí)，

這個(gè)式子相加可得 ，

，當(dāng)時(shí)，成立，

，，

，

，

，

兩式相減可得：

，

（3）表示求數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)前項(xiàng)和為，

當(dāng)時(shí)，成立，

當(dāng)時(shí)，

.

綜上可知，

對(duì)一切，.