給出下列命題:
①關(guān)于x的不等式(a-2)x2+(a-2)x+1>0的解集為R的充要條件是2<a<6;
②我們定義非空集合A的真子集的真子集為A的“孫集”,則集合{1,3,5,7,9}的“孫集”有26個(gè).
③已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若方程f(x)無(wú)實(shí)數(shù)根,則方程f[f(x)]=x也一定沒(méi)有實(shí)數(shù)根;
④若{an}成等比數(shù)列,Sn是前n項(xiàng)和,則S4,S8-S4,S12-S8成等比數(shù)列.
其中正確命題的序號(hào)是 .
【答案】分析:根據(jù)題意,依次分析命題:①首先對(duì)a-2進(jìn)行討論,a-2=0時(shí),恒成立;a-2≠0時(shí),在解答的過(guò)程當(dāng)中,要先將所給的條件由二次不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題,從而獲得相應(yīng)參數(shù)a的范圍②正確理解“孫集”的含義,很容易計(jì)算出“孫集”個(gè)數(shù);③方程f(x)無(wú)實(shí)根,即ax2+bx+c=0無(wú)實(shí)根,則可知△<0,推出結(jié)論;④運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì),進(jìn)行推論;綜合可得答案.
解答:解:①當(dāng)a-2=0即a=2時(shí),不等式(a-2)x2+(a-2)x+1>0的解集為R
當(dāng)a-2≠0是,設(shè)一元二次函數(shù)y=(a-2)x2+(a-2)x+1>0的圖象開(kāi)口向上,且x軸無(wú)交點(diǎn).所以對(duì)于一元二次方程(a-2)x2+(a-2)x+1>0必有△=(a-2)2-4(a-2)<0解得:2<a<6
∴關(guān)于x的不等式(a-2)x2+(a-2)x+1>0的解集為R的充要條件是2≤a<6.則判斷命題①正確.
②集合{1,3,5,7,9}的“孫集”有:φ,單元數(shù)集5個(gè).2元素集C52=10個(gè),3元素集C53=10個(gè),共26個(gè).則判斷命題②正確.
③f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若方程f(x)無(wú)實(shí)數(shù)根,即ax2+bx+c=0(a≠0)無(wú)實(shí)根,則可知△<0,則判斷命題③正確.
④若{an}成等比數(shù)列,Sn是前n項(xiàng)和,則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比數(shù)列,所以S4,S8-S4,S12-S8成等比數(shù)列,則判斷命題④正確.
故答案為:②③④.
點(diǎn)評(píng):本題考查了充要條件的問(wèn)題、真子集、二次函數(shù)以及等比數(shù)列的性質(zhì).解答過(guò)程當(dāng)中要注意與一元二次不等式、一元二次函數(shù)以及一元二次方程的知識(shí)相聯(lián)系.